Вопросы, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая функция называется прямой пропорциональностью и какой формулой она задается? Приведите пример.

2. Что такое угловой коэффициент? Как его знак влияет на расположение графика функции прямой пропорциональности? Приведите пример.

3. Какая функция называется линейной и каким будет ее график?

4. Чему равен свободный член линейной функции, если прямая пересекает ось $\text{Oy}$ в точке с координатами $(0; 5)$? Приведите пример.

5. В чем отличие уравнения функции прямой пропорциональности от уравнения линейной функции?

Найдите высоту дерева в школьном дворе. Для этого выполните следующие задания.

1) Являются ли длина тела человека и длина его тени пропорциональными величинами? Если да, то найдите коэффициент пропорциональности между высотой человека и длиной его тени в 12 ч дня. Обоснуйте ответ.

2) Найдите длину тени дерева в школьном дворе.

3) Умножьте полученную длину на найденный коэффициент пропорциональности. Это и будет приближенным значением высоты дерева.

4) Такой способ можно использовать для определения высоты любых объектов – столбов, зданий и т.д. Чтобы определить коэффициент пропорциональности, можно использовать шест длиной $\text{1}$ м, $\text{2}$ м. Обоснуйте предложенный алгоритм определения высоты объекта.

1. Какая функция называется прямой пропорциональностью и какой формулой она задается? Приведите пример.

Прямой пропорциональностью называется функция, у которой зависимая переменная изменяется во столько же раз, во сколько изменяется независимая переменная. Она задается формулой $y = kx$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (функция), а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю ($k \neq 0$).

Пример: Пусть стоимость 1 кг конфет составляет 300 рублей. Тогда стоимость $x$ кг конфет можно выразить функцией $y = 300x$. Здесь $k=300$. Если купить 2 кг конфет ($x=2$), то стоимость составит $y = 300 \cdot 2 = 600$ рублей.

Ответ: Функция вида $y = kx$ ($k \neq 0$) называется прямой пропорциональностью. Пример: $y = 5x$.

2. Что такое угловой коэффициент? Как его знак влияет на расположение графика функции прямой пропорциональности? Приведите пример.

В функции прямой пропорциональности $y = kx$ коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он численно равен тангенсу угла, который образует график функции (прямая линия) с положительным направлением оси абсцисс (Ох).

Знак углового коэффициента влияет на расположение графика следующим образом:

- Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси Ох является острым. Функция является возрастающей.

- Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси Ох является тупым. Функция является убывающей.

Пример:

- Для функции $y = 2x$, $k = 2 > 0$. График проходит через I и III четверти.

- Для функции $y = -3x$, $k = -3 < 0$. График проходит через II и IV четверти.

Ответ: Угловой коэффициент $k$ в формуле $y = kx$ определяет наклон графика. При $k>0$ график находится в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV.

3. Какая функция называется линейной и каким будет ее график?

Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Графиком линейной функции является прямая линия.

Ответ: Линейная функция задается формулой $y = kx + b$, ее график — прямая линия.

4. Чему равен свободный член линейной функции, если прямая пересекает ось Оу в точке с координатами (0; 5)? Приведите пример.

В уравнении линейной функции $y = kx + b$ число $b$ называется свободным членом. Геометрически свободный член $b$ показывает ординату точки пересечения графика функции с осью ординат (Оу). Если прямая пересекает ось Оу в точке с координатами (0; 5), это означает, что при $x=0$ значение $y=5$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $5 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 5$.

Пример: Функция $y = -2x + 5$. Ее график пересекает ось Оу в точке (0; 5), свободный член $b=5$.

Ответ: Свободный член $b$ равен 5.

5. В чем отличие уравнения функции прямой пропорциональности от уравнения линейной функции?

Уравнение линейной функции имеет вид $y = kx + b$, а уравнение прямой пропорциональности — $y = kx$. Таким образом, прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, когда свободный член $b$ равен нулю ($b=0$).

Основное отличие заключается в том, что график прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат, точку (0; 0), в то время как график линейной функции в общем случае (при $b \neq 0$) не проходит через начало координат, а пересекает ось Оу в точке (0; b).

Ответ: Уравнение прямой пропорциональности — это частный случай уравнения линейной функции при $b=0$.

1) Являются ли длина тела человека и длина его тени пропорциональными величинами? Если да, то найдите коэффициент пропорциональности между высотой человека и длиной его тени в 12 ч дня. Обоснуйте ответ.

Да, в определенный момент времени высота объекта и длина отбрасываемой им тени являются прямо пропорциональными величинами. Это объясняется тем, что солнечные лучи падают на землю параллельно друг другу. Таким образом, вертикальный объект (например, человек) и его тень на горизонтальной поверхности образуют прямоугольный треугольник. Угол, образованный солнечным лучом и поверхностью земли, будет одинаков для всех объектов в данной местности. Следовательно, все прямоугольные треугольники, образованные объектами и их тенями, подобны друг другу по двум углам (прямому и острому углу падения лучей). Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта ($h$) к длине его тени ($l$) есть величина постоянная: $h/l = k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Чтобы найти этот коэффициент, нужно измерить рост человека ($h_{чел}$) и длину его тени ($l_{тени}$) в 12 часов дня и вычислить их отношение.

Ответ: Да, являются. Коэффициент пропорциональности $k$ находится по формуле $k = h_{чел} / l_{тени}$, где $h_{чел}$ — высота человека, а $l_{тени}$ — длина его тени в 12 ч дня.

2) Найдите длину тени дерева в школьном дворе.

Для ответа на этот вопрос необходимо провести практическое измерение. Следует выйти в школьный двор в 12 часов дня и с помощью измерительного инструмента (например, рулетки) измерить расстояние от основания ствола дерева до конца его тени на земле. Это и будет длина тени дерева ($L_{дер}$).

Ответ: Длину тени дерева необходимо измерить на практике в 12 часов дня.

3) Умножьте полученную длину на найденный коэффициент пропорциональности. Это и будет приближенным значением высоты дерева.

Этот пункт описывает процедуру вычисления. Используя коэффициент пропорциональности $k$ из пункта (1) и измеренную длину тени дерева $L_{дер}$ из пункта (2), можно найти высоту дерева $H_{дер}$ по формуле: $H_{дер} = k \cdot L_{дер}$.

Например, если коэффициент $k=1.5$ (найденный в п.1), а длина тени дерева $L_{дер} = 10$ м (измеренная в п.2), то высота дерева будет $H_{дер} = 1.5 \cdot 10 = 15$ метров.

Ответ: Высота дерева вычисляется по формуле $H_{дер} = k \cdot L_{дер}$.

4) Такой способ можно использовать для определения высоты любых объектов – столбов, зданий и т.д. Чтобы определить коэффициент пропорциональности, можно использовать шест длиной 1 м, 2 м. Обоснуйте предложенный алгоритм определения высоты объекта.

Предложенный алгоритм основан на свойстве подобия треугольников.

Обоснование: в один и тот же момент времени солнечные лучи падают на все предметы под одинаковым углом. Вертикально стоящий объект (шест, дерево) и его тень образуют прямоугольный треугольник. Рассмотрим два таких треугольника: один образован шестом известной высоты $h_{шест}$ и его тенью $l_{шест}$, а другой — искомым объектом (например, деревом) высотой $H_{дер}$ и его тенью $L_{дер}$. Эти два треугольника подобны, так как у них равны прямые углы и углы падения солнечных лучей. Из подобия следует, что отношение их соответственных сторон равно: $\frac{H_{дер}}{L_{дер}} = \frac{h_{шест}}{l_{шест}}$. Величина $\frac{h_{шест}}{l_{шест}}$ и есть коэффициент пропорциональности $k$. Использование шеста известной длины (например, $h_{шест} = 1$ м) упрощает нахождение $k$: достаточно измерить длину его тени $l_{шест}$, и тогда $k = \frac{1}{l_{шест}}$. Для нахождения высоты дерева $H_{дер}$ остается измерить длину его тени $L_{дер}$ и воспользоваться формулой: $H_{дер} = L_{дер} \cdot k = L_{дер} \cdot \frac{h_{шест}}{l_{шест}}$. Этот алгоритм является математически корректным.

Ответ: Алгоритм верен, так как он основан на подобии прямоугольных треугольников, образованных объектами и их тенями, что позволяет найти высоту неизвестного объекта через отношение длин теней и высоту известного объекта (шеста).