Номер 5.162, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Запишите предложения в упражнениях 5.160-5.162 в виде математической модели.

5.162. Алмас в магазине купил карандаши по 15 тг и тетради по 40 тг, заплатив за все 270 тг. Сколько карандашей и сколько тетрадей он купил?

1. Составление математической модели

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество карандашей, а $y$ — количество тетрадей, которые купил Алмас.

Стоимость одного карандаша составляет 15 тг, значит, общая стоимость всех карандашей равна $15x$ тг.

Стоимость одной тетради составляет 40 тг, значит, общая стоимость всех тетрадей равна $40y$ тг.

Общая сумма покупки составляет 270 тг. Сложив стоимость карандашей и тетрадей, мы получим общую стоимость. Это позволяет нам составить линейное уравнение с двумя переменными:

$15x + 40y = 270$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество предметов, они должны быть целыми и неотрицательными числами. Так как в условии говорится о покупке и карандашей, и тетрадей, будем искать решения в целых положительных числах ($x > 0, y > 0$).

2. Решение уравнения и анализ результатов

Уравнение $15x + 40y = 270$ является диофантовым уравнением. Для упрощения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{15x}{5} + \frac{40y}{5} = \frac{270}{5}$

$3x + 8y = 54$

Теперь найдем возможные пары целых положительных чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому уравнению. Выразим $x$ через $y$:

$3x = 54 - 8y$

$x = \frac{54 - 8y}{3}$

Поскольку $x$ должен быть положительным числом, то $54 - 8y > 0$, что означает $8y < 54$, или $y < 6.75$. Так как $y$ — целое положительное число, его возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Теперь проверим каждое из этих значений $y$, чтобы найти, при каком из них $x$ будет целым числом.

• Если $y = 1$, то $x = \frac{54 - 8 \cdot 1}{3} = \frac{46}{3}$, не является целым числом.
• Если $y = 2$, то $x = \frac{54 - 8 \cdot 2}{3} = \frac{38}{3}$, не является целым числом.
• Если $y = 3$, то $x = \frac{54 - 8 \cdot 3}{3} = \frac{54 - 24}{3} = \frac{30}{3} = 10$. Это решение подходит ($x=10, y=3$). Проверка: $15 \cdot 10 + 40 \cdot 3 = 150 + 120 = 270$.
• Если $y = 4$, то $x = \frac{54 - 8 \cdot 4}{3} = \frac{22}{3}$, не является целым числом.
• Если $y = 5$, то $x = \frac{54 - 8 \cdot 5}{3} = \frac{14}{3}$, не является целым числом.
• Если $y = 6$, то $x = \frac{54 - 8 \cdot 6}{3} = \frac{54 - 48}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Это решение тоже подходит ($x=2, y=6$). Проверка: $15 \cdot 2 + 40 \cdot 6 = 30 + 240 = 270$.

Таким образом, существуют два возможных варианта покупки, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Алмас мог купить либо 10 карандашей и 3 тетради, либо 2 карандаша и 6 тетрадей.