Номер 5.163, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Составьте математическую модель задач 5.163-5.169. Решите задачи.

5.163. При каких значениях $\text{x}$: 1) значение дроби $\frac{x-4}{5}$ на 9 больше значения дроби $\frac{2x+4}{9}$; 2) значение дроби $\frac{x+17}{5}$ в 3 раза больше значения дроби $\frac{x-5}{4}$?

1) Условие "значение дроби $\frac{x-4}{5}$ на 9 больше значения дроби $\frac{2x+4}{9}$" можно записать в виде математического уравнения. Если одно число больше другого на 9, то их разность равна 9, или большее число равно меньшему плюс 9. Составим модель:

$\frac{x-4}{5} = \frac{2x+4}{9} + 9$

Для решения этого уравнения приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 9 равен 45. Умножим обе части уравнения на 45:

$45 \cdot \frac{x-4}{5} = 45 \cdot \frac{2x+4}{9} + 45 \cdot 9$

$9(x-4) = 5(2x+4) + 405$

Раскроем скобки:

$9x - 36 = 10x + 20 + 405$

$9x - 36 = 10x + 425$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$9x - 10x = 425 + 36$

$-x = 461$

$x = -461$

Ответ: $x = -461$.

2) Условие "значение дроби $\frac{x+17}{5}$ в 3 раза больше значения дроби $\frac{x-5}{4}$" означает, что если мы разделим первую дробь на вторую, то получим 3, или первая дробь равна второй, умноженной на 3. Составим математическую модель:

$\frac{x+17}{5} = 3 \cdot \frac{x-5}{4}$

$\frac{x+17}{5} = \frac{3(x-5)}{4}$

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(x+17) = 5 \cdot 3(x-5)$

$4(x+17) = 15(x-5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x + 68 = 15x - 75$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$68 + 75 = 15x - 4x$

$143 = 11x$

Найдем $x$:

$x = \frac{143}{11}$

$x = 13$

Ответ: $x = 13$.