Номер 5.165, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Составьте математическую модель задач 5.163-5.169. Решите задачи.

5.165. При каких значениях х:

1) значение выражения $\frac{x-4}{5}$ меньше значения выражения $\frac{2x+4}{9}+9$;

2) значение выражения $\frac{x+17}{5}$ не больше значения выражения $3 \cdot \frac{x-5}{4}$?

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значение выражения $\frac{x-4}{5}$ меньше значения выражения $\frac{2x+4}{9} + 9$, необходимо составить и решить соответствующее неравенство:

$\frac{x-4}{5} < \frac{2x+4}{9} + 9$

Для избавления от знаменателей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 5 и 9, которое равно 45. Так как 45 > 0, знак неравенства не изменится.

$45 \cdot \frac{x-4}{5} < 45 \cdot \left(\frac{2x+4}{9} + 9\right)$

$9(x-4) < 5(2x+4) + 45 \cdot 9$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$9x - 36 < 10x + 20 + 405$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$9x - 36 < 10x + 425$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а числовые значения — в другой. Перенесем $9x$ вправо, а 425 влево, меняя их знаки:

$-36 - 425 < 10x - 9x$

$-461 < x$

Это неравенство можно записать как $x > -461$. Решением является интервал от -461 до плюс бесконечности, не включая -461.

Ответ: $x \in (-461; +\infty)$.

2) Условие "значение выражения $\frac{x+17}{5}$ не больше значения выражения $3\cdot\frac{x-5}{4}$" означает, что первое выражение меньше или равно второму. Составим соответствующее неравенство:

$\frac{x+17}{5} \leq 3\cdot\frac{x-5}{4}$

Сначала упростим правую часть:

$\frac{x+17}{5} \leq \frac{3(x-5)}{4}$

$\frac{x+17}{5} \leq \frac{3x-15}{4}$

Теперь избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 5 и 4, которое равно 20. Так как 20 > 0, знак неравенства сохранится.

$20 \cdot \frac{x+17}{5} \leq 20 \cdot \frac{3x-15}{4}$

$4(x+17) \leq 5(3x-15)$

Раскроем скобки:

$4x + 68 \leq 15x - 75$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а числовые значения — в левой:

$68 + 75 \leq 15x - 4x$

$143 \leq 11x$

Разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 > 0, знак неравенства не изменится.

$\frac{143}{11} \leq x$

$13 \leq x$

Это неравенство означает, что $x$ больше или равен 13. Решением является числовой промежуток от 13 до плюс бесконечности, включая 13.

Ответ: $x \in [13; +\infty)$.