Номер 7, страница 103 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Архимедова сила. Вариант 3 - номер 7, страница 103.

Условие.

7. Чему равна наименьшая площадь плоской льдины толщиной 40 см, способной удержать на воде человека массой 75 кг?

Решение.

Дано:

Толщина льдины, $h = 40 \text{ см}$

Масса человека, $m_{ч} = 75 \text{ кг}$

Плотность пресной воды, $\rho_{в} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность льда, $\rho_{л} \approx 900 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$h = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Наименьшая площадь льдины, $S_{min}$ - ?

Решение:

Для того чтобы льдина с человеком могла держаться на воде, необходимо, чтобы суммарная сила тяжести, действующая на льдину и человека, была уравновешена выталкивающей силой Архимеда. Наименьшая площадь льдины будет соответствовать предельному случаю, когда льдина полностью погружена в воду, то есть ее верхняя поверхность находится на одном уровне с поверхностью воды. В этом случае выталкивающая сила максимальна.

Условие равновесия для системы "льдина + человек" в этом предельном случае выглядит так:

$F_{А,max} = F_{тяж, общ}$

Общая сила тяжести $F_{тяж, общ}$ складывается из силы тяжести человека $F_{тяж,ч}$ и силы тяжести льдины $F_{тяж,л}$:

$F_{тяж, общ} = (m_{ч} + m_{л}) \cdot g$

Массу льдины $m_{л}$ можно выразить через ее плотность $\rho_{л}$, площадь $\text{S}$ и толщину $\text{h}$:

$m_{л} = \rho_{л} \cdot V_{л} = \rho_{л} \cdot S \cdot h$

Тогда общая сила тяжести равна:

$F_{тяж, общ} = (m_{ч} + \rho_{л} S h) \cdot g$

Максимальная выталкивающая сила $F_{А,max}$ равна весу воды в объеме, равном всему объему льдины $V_{л}$:

$F_{А,max} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{л} = \rho_{в} \cdot g \cdot S \cdot h$

Приравниваем силу тяжести и выталкивающую силу:

$(m_{ч} + \rho_{л} S h) \cdot g = \rho_{в} g S h$

Сокращаем обе части уравнения на $\text{g}$:

$m_{ч} + \rho_{л} S h = \rho_{в} S h$

Теперь выразим искомую площадь $\text{S}$. Для этого сгруппируем члены, содержащие $\text{S}$:

$m_{ч} = \rho_{в} S h - \rho_{л} S h$

$m_{ч} = S h (\rho_{в} - \rho_{л})$

Отсюда находим минимальную площадь $S_{min}$:

$S_{min} = \frac{m_{ч}}{h (\rho_{в} - \rho_{л})}$

Подставим числовые значения:

$S_{min} = \frac{75 \text{ кг}}{0.4 \text{ м} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})} = \frac{75}{0.4 \cdot 100} = \frac{75}{40} = 1.875 \text{ м}^2$

Ответ: наименьшая площадь льдины равна $1.875 \text{ м}^2$.