Номер 9, страница 103 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Архимедова сила. Вариант 3 - номер 9, страница 103.

Условие.

9. Какое наименьшее число брёвен длиной 10 м и площадью сечения $300 \text{ см}^2$ надо взять для плота, на котором можно переправить через реку груз массой 5 т? Плотность дерева $600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Решение.

Дано:

Длина одного бревна, $l = 10 \text{ м}$

Площадь сечения одного бревна, $S = 300 \text{ см}^2$

Масса груза, $m_г = 5 \text{ т}$

Плотность дерева, $\rho_д = 600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность пресной воды, $\rho_в \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$S = 300 \text{ см}^2 = 300 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 300 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.03 \text{ м}^2$

$m_г = 5 \text{ т} = 5 \cdot 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

Найти:

Наименьшее число брёвен, $N - ?$

Решение:

Чтобы плот с грузом мог плыть, действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) должна уравновешивать суммарную силу тяжести плота и груза. Для нахождения наименьшего числа брёвен рассмотрим предельный случай, когда плот полностью погружен в воду, так как в этом положении выталкивающая сила максимальна.

Условие плавания в предельном случае:

$F_A = P_{плота} + P_{груза}$

где $F_A$ – сила Архимеда, $P_{плота}$ – вес плота, $P_{груза}$ – вес груза.

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженный плот, равна:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{плота}$

где $\rho_в$ – плотность воды, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $V_{плота}$ – объём плота.

Вес плота и груза определяются формулами:

$P_{плота} = m_{плота} \cdot g = \rho_д \cdot V_{плота} \cdot g$

$P_{груза} = m_г \cdot g$

Пусть $\text{N}$ – искомое число брёвен. Тогда объём всего плота равен произведению числа брёвен на объём одного бревна $V_{бревна}$:

$V_{плота} = N \cdot V_{бревна}$

Объём одного бревна равен произведению его длины на площадь поперечного сечения:

$V_{бревна} = l \cdot S = 10 \text{ м} \cdot 0.03 \text{ м}^2 = 0.3 \text{ м}^3$

Подставим все выражения в уравнение равновесия:

$\rho_в \cdot g \cdot (N \cdot V_{бревна}) = \rho_д \cdot g \cdot (N \cdot V_{бревна}) + m_г \cdot g$

Разделим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_в \cdot N \cdot V_{бревна} = \rho_д \cdot N \cdot V_{бревна} + m_г$

Сгруппируем слагаемые с $\text{N}$:

$N \cdot V_{бревна} \cdot (\rho_в - \rho_д) = m_г$

Отсюда выразим $\text{N}$:

$N = \frac{m_г}{V_{бревна} \cdot (\rho_в - \rho_д)}$

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

$N = \frac{5000 \text{ кг}}{0.3 \text{ м}^3 \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})} = \frac{5000}{0.3 \cdot 400} = \frac{5000}{120} = \frac{500}{12} \approx 41.67$

Поскольку количество брёвен может быть только целым числом, а нам нужно обеспечить плавучесть, мы должны взять количество брёвен, не меньшее, чем расчётное. Поэтому округляем полученное значение до ближайшего целого в большую сторону.

$N = 42$

Ответ: для постройки плота надо взять наименьшее число брёвен, равное 42.