Номер 8, страница 103 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Архимедова сила. Вариант 3 - номер 8, страница 103.

Условие.

8. Полый цинковый шар, наружный объём которого 200 см³, плавает в воде так, что половина его погружается в воду. Рассчитайте объём полости шара.

Решение.

Дано:

Внешний объем цинкового шара, $V_{внеш} = 200 \text{ см}^3$
Объем погруженной части, $V_{погр} = \frac{1}{2}V_{внеш}$
Плотность воды (табличное значение), $\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность цинка (табличное значение), $\rho_{цинка} = 7100 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:
$V_{внеш} = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

Объем полости шара, $V_{полости}$ — ?

Решение:

Поскольку шар плавает в воде, действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

Условие плавания тела:

$F_A = F_g$

Сила Архимеда определяется как вес вытесненной жидкости:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ — объем погруженной части шара. По условию задачи, шар погружен наполовину, следовательно:

$V_{погр} = \frac{1}{2} V_{внеш}$

Тогда сила Архимеда равна:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{V_{внеш}}{2}$

Сила тяжести, действующая на полый шар, равна весу материала, из которого он сделан (в данном случае — цинка), так как полость внутри ничего не весит (массой воздуха в полости можно пренебречь):

$F_g = m_{шара} \cdot g = \rho_{цинка} \cdot V_{цинка} \cdot g$

где $V_{цинка}$ — это объем самого цинка. Этот объем можно найти, вычтя из внешнего объема шара объем внутренней полости:

$V_{цинка} = V_{внеш} - V_{полости}$

Подставим это выражение в формулу для силы тяжести:

$F_g = \rho_{цинка} \cdot (V_{внеш} - V_{полости}) \cdot g$

Теперь приравняем выражения для силы Архимеда и силы тяжести:

$\rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{V_{внеш}}{2} = \rho_{цинка} \cdot (V_{внеш} - V_{полости}) \cdot g$

Сократим $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{воды} \cdot \frac{V_{внеш}}{2} = \rho_{цинка} \cdot (V_{внеш} - V_{полости})$

Выразим из этого уравнения объем полости $V_{полости}$:

$V_{внеш} - V_{полости} = \frac{\rho_{воды} \cdot V_{внеш}}{2 \cdot \rho_{цинка}}$

$V_{полости} = V_{внеш} - \frac{\rho_{воды} \cdot V_{внеш}}{2 \cdot \rho_{цинка}}$

Вынесем $V_{внеш}$ за скобки:

$V_{полости} = V_{внеш} \cdot \left(1 - \frac{\rho_{воды}}{2 \cdot \rho_{цинка}}\right)$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$V_{полости} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \cdot \left(1 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{2 \cdot 7100 \text{ кг/м}^3}\right) = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \left(1 - \frac{1000}{14200}\right) = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \left(1 - \frac{10}{142}\right)$

$V_{полости} = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \left(\frac{142 - 10}{142}\right) = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{132}{142} \approx 2 \cdot 10^{-4} \cdot 0.9296 \approx 1.859 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Переведем результат обратно в см³:

$1.859 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 1.859 \cdot 10^{-4} \cdot 10^6 \text{ см}^3 = 185.9 \text{ см}^3$

Ответ: объем полости шара составляет примерно 185,9 см³.