Номер 122, страница 19 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Равномерное и неравномерное движение. Скорость. Расчёт пути и времени - номер 122, страница 19.

Условие.

122. Из одного пункта в другой мотоциклист двигался со скоростью 60 км/ч, обратный путь он проехал со скоростью 10 м/с. Определите среднюю скорость мотоциклиста за всё время движения.

Решение.

Дано:

Скорость на пути "туда", $v_1 = 60 \text{ км/ч}$

Скорость на обратном пути, $v_2 = 10 \text{ м/с}$

Пройденные пути в обе стороны равны, $S_1 = S_2 = S$.

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 60 \text{ км/ч} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{600}{36} \text{ м/с} = \frac{50}{3} \text{ м/с}$.

$v_2 = 10 \text{ м/с}$ (величина уже в СИ).

Найти:

Среднюю скорость за всё время движения, $v_{ср}$.

Решение:

Средняя путевая скорость вычисляется по формуле как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь пройденный путь $S_{общ}$ равен сумме путей "туда" и "обратно". Обозначим расстояние между пунктами как $\text{S}$. Тогда:

$S_{общ} = S + S = 2S$

Всё время движения $t_{общ}$ складывается из времени движения "туда" ($t_1$) и "обратно" ($t_2$):

$t_{общ} = t_1 + t_2$

Время на каждом участке пути находится как отношение пути к скорости на этом участке:

$t_1 = \frac{S}{v_1}$

$t_2 = \frac{S}{v_2}$

Подставим выражения для времени в формулу общего времени:

$t_{общ} = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в исходную формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}}$

Можно вынести $\text{S}$ в знаменателе за скобки и сократить:

$v_{ср} = \frac{2S}{S(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем знаменатель к общему и упростим выражение. Эта формула также известна как среднее гармоническое двух скоростей:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения скоростей, выраженные в единицах СИ (м/с):

$v_{ср} = \frac{2 \cdot \frac{50}{3} \cdot 10}{\frac{50}{3} + 10} = \frac{\frac{1000}{3}}{\frac{50 + 30}{3}} = \frac{\frac{1000}{3}}{\frac{80}{3}} = \frac{1000}{80} = 12,5 \text{ м/с}$

Для наглядности можно перевести результат в км/ч, умножив на 3,6:

$12,5 \text{ м/с} \cdot 3,6 = 45 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость мотоциклиста за всё время движения равна 12,5 м/с (или 45 км/ч).