Номер 132, страница 22 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Равномерное и неравномерное движение. Скорость. Расчёт пути и времени - номер 132, страница 22.

Условие.

132. Дачник собирал дождевую воду в бак. Первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака. Но затем дождь усилился, и скорость заполнения оставшейся части бака выросла в 6 раз по сравнению со скоростью заполнения первой части бака. Скорость заполнения — это количество литров воды, попадающих в бак за 1 ч. Найдите: а) отношение времени, затраченного на заполнение первой и второй частей бака; б) отношение объёмов второй и первой частей бака.

Решение.

Дано:

Обозначим:

$v_1$ - скорость заполнения первой части бака;

$v_2$ - скорость заполнения второй части бака;

$v_{ср}$ - средняя скорость заполнения всего бака;

$t_1$ - время заполнения первой части бака;

$t_2$ - время заполнения второй части бака;

$V_1$ - объём первой части бака;

$V_2$ - объём второй части бака.

Из условия задачи известно:

$v_1 = \frac{v_{ср}}{2}$

$v_2 = 6 \cdot v_1$

Поскольку в задаче требуется найти отношения величин, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

а) $\frac{t_1}{t_2}$ - отношение времени, затраченного на заполнение первой и второй частей бака;

б) $\frac{V_2}{V_1}$ - отношение объёмов второй и первой частей бака.

Решение:

Средняя скорость заполнения всего бака определяется как отношение общего объёма $\text{V}$ к общему времени заполнения $\text{t}$:

$v_{ср} = \frac{V}{t} = \frac{V_1 + V_2}{t_1 + t_2}$

Объёмы первой и второй частей бака можно выразить через соответствующие скорости и время заполнения:

$V_1 = v_1 \cdot t_1$

$V_2 = v_2 \cdot t_2$

Подставим эти выражения в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь используем соотношения скоростей, данные в условии задачи: $v_{ср} = 2v_1$ и $v_2 = 6v_1$. Подставим их в полученное уравнение:

$2v_1 = \frac{v_1 t_1 + (6v_1) t_2}{t_1 + t_2}$

Поскольку скорость заполнения $v_1$ не равна нулю, можно сократить обе части уравнения на $v_1$:

$2 = \frac{t_1 + 6t_2}{t_1 + t_2}$

Решим это уравнение относительно $t_1$ и $t_2$:

$2(t_1 + t_2) = t_1 + 6t_2$

$2t_1 + 2t_2 = t_1 + 6t_2$

$2t_1 - t_1 = 6t_2 - 2t_2$

$t_1 = 4t_2$

а) отношение времени, затраченного на заполнение первой и второй частей бака

Из полученного выше соотношения $t_1 = 4t_2$ найдем искомое отношение времени:

$\frac{t_1}{t_2} = 4$

Ответ: 4.

б) отношение объёмов второй и первой частей бака

Найдём отношение объёмов, используя формулы $V_1 = v_1 t_1$ и $V_2 = v_2 t_2$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{v_2 t_2}{v_1 t_1}$

Подставим известные соотношения $v_2 = 6v_1$ и $t_1 = 4t_2$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{(6v_1) t_2}{v_1 (4t_2)}$

Сократим $v_1$ и $t_2$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5.