Номер 204, страница 25 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Давление твердых тел - номер 204, страница 25.

Условие.

204. Брусок массой 2 кг имеет форму параллелепипеда. Лежа на одной из граней, он оказывает давление 1 кПа, лежа на другой – давление 2 кПа, стоя на третьей – 4 кПа. Каковы размеры бруска?

Решение.

Дано:

масса бруска, $m = 2$ кг
давление на грань 1, $p_1 = 1$ кПа
давление на грань 2, $p_2 = 2$ кПа
давление на грань 3, $p_3 = 4$ кПа

$p_1 = 1 \text{ кПа} = 1000 \text{ Па}$
$p_2 = 2 \text{ кПа} = 2000 \text{ Па}$
$p_3 = 4 \text{ кПа} = 4000 \text{ Па}$

Найти:

Размеры бруска (длину $\text{a}$, ширину $\text{b}$, высоту $\text{c}$).

Решение:

Давление $\text{p}$, которое тело оказывает на опору, вычисляется по формуле $p = \frac{F}{S}$, где $\text{F}$ – сила давления, а $\text{S}$ – площадь опоры.

Сила давления $\text{F}$ в данном случае равна весу бруска $\text{P}$, который определяется как $F = P = mg$. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Вычислим силу, с которой брусок действует на поверхность:

$F = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 20 \text{ Н}$.

Поскольку брусок имеет форму параллелепипеда, у него есть три пары одинаковых граней с различными площадями $S_1, S_2, S_3$. Давление обратно пропорционально площади грани, на которой стоит брусок.

Из формулы давления выразим площадь: $S = \frac{F}{p}$. Найдем площади каждой из трех уникальных граней:

$S_1 = \frac{F}{p_1} = \frac{20 \text{ Н}}{1000 \text{ Па}} = 0.02 \text{ м}^2$.

$S_2 = \frac{F}{p_2} = \frac{20 \text{ Н}}{2000 \text{ Па}} = 0.01 \text{ м}^2$.

$S_3 = \frac{F}{p_3} = \frac{20 \text{ Н}}{4000 \text{ Па}} = 0.005 \text{ м}^2$.

Пусть размеры бруска (длины его ребер) равны $a, b, c$. Тогда площади его граней равны произведениям этих размеров:

$a \cdot b = S_1 = 0.02 \text{ м}^2$

$a \cdot c = S_2 = 0.01 \text{ м}^2$

$b \cdot c = S_3 = 0.005 \text{ м}^2$

Для нахождения размеров $a, b, c$ решим полученную систему уравнений. Перемножим все три уравнения:

$(a \cdot b) \cdot (a \cdot c) \cdot (b \cdot c) = S_1 \cdot S_2 \cdot S_3$

$a^2 b^2 c^2 = 0.02 \cdot 0.01 \cdot 0.005 = 0.000001 = 10^{-6} \text{ м}^6$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, найдем произведение $abc$, которое равно объему бруска $\text{V}$:

$V = abc = \sqrt{10^{-6} \text{ м}^6} = 10^{-3} \text{ м}^3$.

Теперь мы можем найти каждый размер, разделив объем на площадь противоположной грани:

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{V}{S_1} = \frac{10^{-3} \text{ м}^3}{0.02 \text{ м}^2} = 0.05 \text{ м}$.

$b = \frac{abc}{ac} = \frac{V}{S_2} = \frac{10^{-3} \text{ м}^3}{0.01 \text{ м}^2} = 0.1 \text{ м}$.

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{V}{S_3} = \frac{10^{-3} \text{ м}^3}{0.005 \text{ м}^2} = 0.2 \text{ м}$.

Таким образом, размеры бруска составляют 0.2 м, 0.1 м и 0.05 м.

Ответ: Размеры бруска равны 20 см, 10 см и 5 см (или 0.2 м, 0.1 м, 0.05 м).