Номер 207, страница 25 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Давление твердых тел - номер 207, страница 25.

Условие.

207. На столе стоит кубик, площадь грани которого составляет $25 \text{ см}^2$. Его масса 90 г. На него ставят тело неправильной формы. Площадь его контакта с кубиком составляет $16 \text{ см}^2$. Сверху ставят еще один кубик со стороной 3 см. Площадь контакта этого кубика с телом неправильной формы составляет $9 \text{ см}^2$. Известно, что все давления в местах соприкосновения тел друг с другом и со столом равны между собой. Найдите массу тела неправильной формы и массу верхнего кубика.

Решение.

Дано:

Площадь грани нижнего кубика (площадь контакта со столом), $S_1 = 25 \text{ см}^2$

Масса нижнего кубика, $m_1 = 90 \text{ г}$

Площадь контакта тела неправильной формы с нижним кубиком, $S_2 = 16 \text{ см}^2$

Площадь контакта верхнего кубика с телом неправильной формы, $S_3 = 9 \text{ см}^2$

Давления во всех местах соприкосновения равны: $p_1 = p_2 = p_3$.

$S_1 = 25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0025 \text{ м}^2$

$m_1 = 90 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.09 \text{ кг}$

$S_2 = 16 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0016 \text{ м}^2$

$S_3 = 9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0009 \text{ м}^2$

Найти:

Массу тела неправильной формы $m_2$ и массу верхнего кубика $m_3$.

Решение:

Давление $\text{p}$ определяется по формуле $p = F/S$, где $\text{F}$ - сила, действующая перпендикулярно поверхности, а $\text{S}$ - площадь этой поверхности. В данном случае силой является вес тел, $F=mg$, где $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Обозначим массы тел: $m_1$ - масса нижнего кубика, $m_2$ - масса тела неправильной формы, $m_3$ - масса верхнего кубика.

Давление верхнего кубика на тело неправильной формы:

$p_3 = \frac{m_3 g}{S_3}$

Давление тела неправильной формы и верхнего кубика на нижний кубик:

$p_2 = \frac{(m_2 + m_3) g}{S_2}$

Давление всех трех тел на стол:

$p_1 = \frac{(m_1 + m_2 + m_3) g}{S_1}$

По условию задачи, все эти давления равны: $p_1 = p_2 = p_3$.

Приравняем $p_2$ и $p_3$ (ускорение свободного падения $\text{g}$ сокращается):

$\frac{m_3}{S_3} = \frac{m_2 + m_3}{S_2}$

Выразим отсюда массу $m_2$:

$m_3 S_2 = (m_2 + m_3) S_3$

$m_3 S_2 = m_2 S_3 + m_3 S_3$

$m_2 S_3 = m_3 S_2 - m_3 S_3 = m_3 (S_2 - S_3)$

$m_2 = m_3 \frac{S_2 - S_3}{S_3} \quad (1)$

Теперь приравняем давления $p_1$ и $p_2$ (также сокращая $\text{g}$):

$\frac{m_2 + m_3}{S_2} = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{S_1}$

Используем тот факт, что $\frac{m_2 + m_3}{S_2}$ равно $\frac{m_3}{S_3}$:

$\frac{m_3}{S_3} = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{S_1}$

Подставим в это уравнение выражение для $m_2$ из формулы (1):

$\frac{m_3}{S_3} = \frac{m_1 + (m_3 \frac{S_2 - S_3}{S_3}) + m_3}{S_1}$

$\frac{m_3 S_1}{S_3} = m_1 + m_3 (\frac{S_2 - S_3}{S_3} + 1)$

$\frac{m_3 S_1}{S_3} = m_1 + m_3 (\frac{S_2 - S_3 + S_3}{S_3})$

$\frac{m_3 S_1}{S_3} = m_1 + m_3 \frac{S_2}{S_3}$

Перенесем слагаемые с $m_3$ в одну сторону:

$\frac{m_3 S_1}{S_3} - \frac{m_3 S_2}{S_3} = m_1$

$m_3 \frac{S_1 - S_2}{S_3} = m_1$

Отсюда находим $m_3$:

$m_3 = m_1 \frac{S_3}{S_1 - S_2}$

Подставим числовые значения. Можно использовать значения в граммах и см², так как в итоговой формуле единицы площади сокращаются.

$m_3 = 90 \text{ г} \cdot \frac{9 \text{ см}^2}{25 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2} = 90 \text{ г} \cdot \frac{9 \text{ см}^2}{9 \text{ см}^2} = 90 \text{ г}$

Теперь найдем массу $m_2$, используя формулу (1):

$m_2 = m_3 \frac{S_2 - S_3}{S_3} = 90 \text{ г} \cdot \frac{16 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2}{9 \text{ см}^2} = 90 \text{ г} \cdot \frac{7 \text{ см}^2}{9 \text{ см}^2} = 10 \cdot 7 = 70 \text{ г}$

Ответ: масса тела неправильной формы составляет 70 г, масса верхнего кубика - 90 г.