Номер 224, страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Давление жидкости - номер 224, страница 27.

Условие.

224. Аквариум имеет форму куба со стороной 60 см. До какой высоты следует налить в него воду, чтобы сила давления на боковую стенку была в 6 раз меньше, чем на дно?

Решение.

Дано:

Форма аквариума - куб

Сторона куба, $a = 60 \text{ см}$

Отношение сил давления, $ \frac{F_{дно}}{F_{бок}} = 6 $

Плотность воды, $\rho$

Ускорение свободного падения, $\text{g}$

$a = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Высоту уровня воды, $\text{h}$

Решение:

Сила давления на дно аквариума определяется как произведение давления на дно на площадь дна. Давление на дно на глубине $\text{h}$ постоянно и равно $p_{дно} = \\rhog h$. Площадь дна куба составляет $S_{дно} = a^2$.

Следовательно, сила давления на дно:

$F_{дно} = p_{дно} \cdot S_{дно} = \\rhog h a^2$

Давление на боковую стенку изменяется с глубиной от 0 на поверхности до максимального значения $p_{max} = \\rhog h$ у дна. Чтобы найти силу давления на всю стенку, нужно использовать среднее давление. Так как давление возрастает линейно, среднее давление равно давлению на половине высоты столба воды: $p_{ср} = \frac{1}{2}\\rhog h$.

Площадь боковой стенки, на которую действует вода, равна $S_{бок} = a \cdot h$.

Тогда сила давления на боковую стенку:

$F_{бок} = p_{ср} \cdot S_{бок} = \left(\frac{1}{2} \\rhog h\right) \cdot (a h) = \frac{1}{2} \\rhog a h^2$

По условию задачи, сила давления на боковую стенку в 6 раз меньше, чем на дно, то есть $F_{дно} = 6 \cdot F_{бок}$.

Подставим полученные выражения в это соотношение:

$\\rhog h a^2 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \\rhog a h^2\right)$

Упростим выражение:

$\\rhog h a^2 = 3 \\rhog a h^2$

Сократим обе части уравнения на $\\rhog a h$ (поскольку эти величины не равны нулю):

$a = 3h$

Отсюда выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{a}{3}$

Подставим значение стороны куба $a = 60 \text{ см}$:

$h = \frac{60 \text{ см}}{3} = 20 \text{ см}$

Ответ: воду в аквариум следует налить до высоты 20 см.