Номер 42, страница 9 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Равномерное прямолинейное движение - номер 42, страница 9.

Условие.

42. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира за 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий пассажир по движущемуся эскалатору?

Решение.

Дано:

Время подъема неподвижного пассажира на движущемся эскалаторе: $t_1 = 1$ мин
Время подъема пассажира по неподвижному эскалатору: $t_2 = 3$ мин

Перевод в систему СИ:
$t_1 = 1 \cdot 60 = 60$ с
$t_2 = 3 \cdot 60 = 180$ с

Найти:

Время подъема идущего пассажира по движущемуся эскалатору: $\text{t}$

Решение:

Пусть $\text{L}$ — длина эскалатора, $v_э$ — скорость эскалатора, $v_п$ — скорость пассажира относительно эскалатора.

1. Когда пассажир стоит на движущемся эскалаторе, он преодолевает расстояние $\text{L}$ со скоростью эскалатора $v_э$ за время $t_1$.
Отсюда скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_1}$.

2. Когда пассажир идет по неподвижному эскалатору, он преодолевает расстояние $\text{L}$ со своей скоростью $v_п$ за время $t_2$.
Отсюда скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{t_2}$.

3. Когда пассажир идет по движущемуся эскалатору, их скорости складываются, так как они направлены в одну сторону. Результирующая скорость пассажира относительно земли будет $v_{общ} = v_э + v_п$.
Время $\text{t}$, за которое пассажир поднимется в этом случае, равно:
$t = \frac{L}{v_{общ}} = \frac{L}{v_э + v_п}$

Подставим выражения для скоростей $v_э$ и $v_п$ в эту формулу:
$t = \frac{L}{\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_2}}$

Сократим $\text{L}$ в числителе и знаменателе:
$t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю и упростим выражение:
$t = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Расчет в минутах:
$t = \frac{1 \cdot 3}{1 + 3} = \frac{3}{4} = 0.75$ мин

Переведем результат в секунды:
$t = 0.75 \text{ мин} \cdot 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 45$ с

Можно также провести расчет сразу в системе СИ:
$t = \frac{60 \cdot 180}{60 + 180} = \frac{10800}{240} = 45$ с

Ответ: 45 с.