Номер 44, страница 9 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Равномерное прямолинейное движение - номер 44, страница 9.

Условие.

44. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?

Решение.

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин}$
$t_2 = 45 \text{ с}$

Переведем все данные в систему СИ (секунды):
$t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

$t_э$ - время, за которое спускается человек, стоящий на эскалаторе.

Решение:

Пусть $\text{L}$ – длина эскалатора, $v_э$ – скорость эскалатора, а $v_ч$ – скорость идущего человека относительно эскалатора (в первом случае).

Когда человек идет по движущемуся вниз эскалатору, их скорости складываются. Общая скорость движения относительно земли равна сумме скорости эскалатора и скорости человека.

В первом случае суммарная скорость равна $v_1 = v_э + v_ч$. Человек спускается за время $t_1 = 60$ с. Длину эскалатора можно выразить через скорость и время:

$L = v_1 \cdot t_1 = (v_э + v_ч) \cdot 60$

Во втором случае человек идет вдвое быстрее, то есть его скорость равна $2v_ч$. Суммарная скорость в этом случае будет $v_2 = v_э + 2v_ч$. Время спуска составляет $t_2 = 45$ с. Для этого случая длина эскалатора выражается как:

$L = v_2 \cdot t_2 = (v_э + 2v_ч) \cdot 45$

Поскольку длина эскалатора $\text{L}$ является постоянной величиной, мы можем приравнять два полученных выражения:

$(v_э + v_ч) \cdot 60 = (v_э + 2v_ч) \cdot 45$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти соотношение между скоростью эскалатора и скоростью человека:

$60v_э + 60v_ч = 45v_э + 90v_ч$

Перенесем слагаемые с $v_э$ в левую часть, а с $v_ч$ – в правую:

$60v_э - 45v_э = 90v_ч - 60v_ч$

$15v_э = 30v_ч$

Разделив обе части на 15, получим:

$v_э = 2v_ч$

Это означает, что скорость эскалатора в два раза больше начальной скорости человека.

Теперь мы можем вычислить длину эскалатора $\text{L}$, подставив найденное соотношение в любое из начальных уравнений. Например, в первое:

$L = (2v_ч + v_ч) \cdot 60 = 3v_ч \cdot 60 = 180v_ч$

Нас интересует время, за которое спустится человек, просто стоящий на эскалаторе. В этом случае его собственная скорость $v_ч = 0$, и он движется только за счет скорости эскалатора $v_э$. Искомое время $t_э$ равно:

$t_э = \frac{L}{v_э}$

Подставим выражения для $\text{L}$ и $v_э$, которые мы нашли:

$t_э = \frac{180v_ч}{2v_ч}$

Сократив $v_ч$, получаем окончательный результат:

$t_э = 90 \text{ с}$

Это время также можно перевести в минуты: $90 \text{ с} = 1,5 \text{ мин}$.

Ответ: 90 с.