Номер 48, страница 10 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Равномерное прямолинейное движение - номер 48, страница 10.

Условие.

48. Теплоход, длина которого 300 м, двигается по прямому курсу в неподвижной воде со скоростью $v_Т$. Катер, имеющий скорость 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода и обратно за 37,5 с. Определите скорость теплохода.

Решение.

Дано:

Длина теплохода, $L = 300$ м

Скорость катера, $v_к = 90$ км/ч

Общее время движения катера, $t = 37,5$ с

Переведем скорость катера в систему СИ:

$v_к = 90 \frac{км}{ч} = 90 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = 25$ м/с

Найти:

Скорость теплохода, $v_т$

Решение:

Данную задачу удобнее решать в системе отсчета, связанной с водой. Поскольку вода неподвижна, эта система отсчета является инерциальной.

Пусть $t_1$ — это время, за которое катер проходит расстояние от кормы до носа теплохода, двигаясь в том же направлении, что и теплоход. В этом случае скорость катера относительно теплохода равна разности их скоростей:

$v_{отн1} = v_к - v_т$

За это время катер должен преодолеть расстояние, равное длине теплохода $\text{L}$. Следовательно, время движения будет:

$t_1 = \frac{L}{v_к - v_т}$

Пусть $t_2$ — это время, за которое катер возвращается от носа к корме теплохода. Катер движется навстречу теплоходу, поэтому их относительная скорость равна сумме скоростей:

$v_{отн2} = v_к + v_т$

За это время катер также преодолевает расстояние $\text{L}$ относительно теплохода. Время возвращения будет:

$t_2 = \frac{L}{v_к + v_т}$

По условию задачи, общее время движения катера $\text{t}$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$t = t_1 + t_2 = \frac{L}{v_к - v_т} + \frac{L}{v_к + v_т}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $v_т$. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$t = \frac{L(v_к + v_т) + L(v_к - v_т)}{(v_к - v_т)(v_к + v_т)}$

Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:

$t = \frac{L v_к + L v_т + L v_к - L v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$t = \frac{2 L v_к}{v_к^2 - v_т^2}$

Выразим из полученного уравнения $v_т^2$:

$v_к^2 - v_т^2 = \frac{2 L v_к}{t}$

$v_т^2 = v_к^2 - \frac{2 L v_к}{t}$

Подставим числовые значения всех величин в системе СИ:

$v_т^2 = 25^2 - \frac{2 \cdot 300 \cdot 25}{37,5}$

$v_т^2 = 625 - \frac{15000}{37,5}$

$v_т^2 = 625 - 400$

$v_т^2 = 225$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость:

$v_т = \sqrt{225} = 15$ м/с

Ответ: скорость теплохода равна 15 м/с.