Номер 51, страница 10 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Равномерное прямолинейное движение - номер 51, страница 10.

Условие.

51. Из пункта $\text{M}$ в пункт $\text{K}$ через интервалы времени 10 мин выезжает по одному автобусу. Расстояние между пунктами $\text{M}$ и $\text{K}$ равно 60 км. Скорость каждого автобуса 60 км/ч. Постройте график зависимости координаты от времени для каждого автобуса. Определите по этим графикам, сколько автобусов встретит в пути пассажир, который выезжает на автомобиле из пункта $\text{K}$ в пункт $\text{M}$ одновременно с одним из автобусов, отправляющихся из пункта $\text{M}$. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч.

Решение.

Дано:

Интервал времени между выездом автобусов, $\Delta t = 10 \text{ мин}$

Расстояние между пунктами M и K, $S = 60 \text{ км}$

Скорость каждого автобуса, $v_{авт} = 60 \text{ км/ч}$

Скорость автомобиля, $v_{автм} = 60 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ не требуется, так как единицы измерения (км, км/ч, мин) согласованы. Переведем минуты в часы для удобства расчетов:

$\Delta t = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Найти:

1. Построить график зависимости координаты от времени для каждого автобуса.

2. Определить, сколько автобусов $\text{N}$ встретит в пути пассажир.

Решение:

Введем систему координат. Пусть пункт М находится в начале координат ($x=0$), а пункт К — в точке $x = 60 \text{ км}$. Ось $\text{X}$ направим от М к К. Автобусы движутся в положительном направлении оси $\text{X}$, а автомобиль — в отрицательном.

За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент выезда автомобиля из пункта К и одновременного выезда одного из автобусов (назовем его "нулевым") из пункта М.

Постройте график зависимости координаты от времени для каждого автобуса.

Движение всех автобусов равномерное. Время, за которое один автобус проходит расстояние $\text{S}$, равно:

$T = \frac{S}{v_{авт}} = \frac{60 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$

Уравнение движения для автобуса, выезжающего в момент времени $t_n$, имеет вид:

$x(t) = v_{авт} \cdot (t - t_n)$ при $t \ge t_n$

Поскольку автобусы выезжают с интервалом $\Delta t = 1/6 \text{ ч}$, их времена отправления $t_n = n \cdot \Delta t = \frac{n}{6}$, где $\text{n}$ — целое число.

Графиком зависимости координаты от времени для каждого автобуса является отрезок прямой, начинающийся в точке $(t_n, 0)$ и заканчивающийся в точке $(t_n + 1, 60)$. На плоскости $(t, x)$ графики движения всех автобусов представляют собой семейство параллельных прямых.

Определите по этим графикам, сколько автобусов встретит в пути пассажир, который выезжает на автомобиле из пункта K в пункт М одновременно с одним из автобусов, отправляющихся из пункта М.

Уравнение движения автомобиля, который в момент $t=0$ выезжает из точки $K(x=60)$ со скоростью $v_{автм}=60 \text{ км/ч}$ в сторону пункта $M(x=0)$, имеет вид:

$x_{автм}(t) = S - v_{автм} \cdot t = 60 - 60t$

Автомобиль находится в пути от $t=0$ до момента прибытия в пункт М, то есть до $t=T=1$ час.

График движения автомобиля — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 60)$ и $(1, 0)$.

Встреча пассажира с автобусом на графике соответствует точке пересечения графика движения автомобиля с графиком движения автобуса. Нам нужно найти, сколько таких пересечений произойдет за время движения автомобиля, то есть в интервале времени $t \in [0, 1]$.

Пассажир встретит все автобусы, которые в промежутке времени от $t=0$ до $t=1$ будут находиться на участке дороги между М и К. Это включает:

1. Автобусы, которые уже были в пути в момент старта автомобиля ($t=0$).

2. Автобусы, которые выехали из пункта М, пока автомобиль двигался к нему ($0 \le t \le 1$).

Найдем время встречи автомобиля с автобусом, который выехал из M в момент времени $t_n = n/6$.

$x_{автм}(t_{встр}) = x_{авт}(t_{встр})$

$60 - 60t_{встр} = 60(t_{встр} - t_n) = 60t_{встр} - 60 \frac{n}{6}$

$60 - 60t_{встр} = 60t_{встр} - 10n$

$120t_{встр} = 60 + 10n$

$t_{встр} = \frac{60 + 10n}{120} = \frac{6 + n}{12}$

Чтобы встреча произошла в пути, время встречи должно удовлетворять условию $0 \le t_{встр} \le 1$.

$0 \le \frac{6 + n}{12} \le 1$

Умножим все части на 12:

$0 \le 6 + n \le 12$

Вычтем 6 из всех частей:

$-6 \le n \le 6$

Поскольку $\text{n}$ — целое число, оно может принимать значения: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Проверим крайние значения:

• При $n=-6$, автобус выехал в $t = -6/6 = -1$ час. В момент $t=0$ он как раз прибывает в пункт К ($x=60$). Автомобиль встречает его в момент $t_{встр}=(6-6)/12 = 0$ в точке К. Это первая встреча.
• При $n=0$, автобус выезжает одновременно с автомобилем. Встреча произойдет в $t_{встр}=(6+0)/12 = 0.5$ ч (на полпути).
• При $n=6$, автобус выезжает в $t=6/6=1$ час. Автомобиль встречает его в момент $t_{встр}=(6+6)/12 = 1$ час в точке М. Это последняя встреча.

Общее количество целых чисел в диапазоне от -6 до 6 включительно равно $6 - (-6) + 1 = 13$.

Следовательно, пассажир встретит 13 автобусов.

Ответ: Графики движения автобусов — это семейство параллельных отрезков, начинающихся в точках $(\frac{n}{6}, 0)$ и заканчивающихся в точках $(\frac{n}{6} + 1, 60)$, где $\text{n}$ — целое число. Пассажир в автомобиле встретит 13 автобусов.