Номер 444, страница 54 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Коэффициент полезного действия - номер 444, страница 54.

Условие.

444. Бак для воды находится на высоте 12 м. Какой мощности должен быть двигатель насоса, если нужно в 1 мин подавать $1,8 \, \text{м}^3$ воды, а КПД насоса равен 75%?

Решение.

Дано:

$h = 12$ м

$V = 1,8$ м³

$t = 1$ мин

КПД $\eta = 75\%$

Плотность воды $\\rho= 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$\eta = 75\% = 0,75$

Найти:

$P_{затр}$ — ?

Решение:

Мощность, которую должен развить двигатель насоса (затраченная мощность $P_{затр}$), связана с полезной мощностью $P_{полезн}$ через коэффициент полезного действия (КПД).

Полезная мощность — это мощность, идущая непосредственно на подъем воды. Она определяется как отношение полезной работы $A_{полезн}$ ко времени $\text{t}$, за которое эта работа совершается:

$P_{полезн} = \frac{A_{полезн}}{t}$

Полезная работа в данном случае — это работа по преодолению силы тяжести, которая равна изменению потенциальной энергии воды:

$A_{полезн} = E_p = mgh$

где $\text{m}$ — масса воды, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{h}$ — высота подъема.

Массу воды можно найти через её объем $\text{V}$ и плотность $\rho$:

$m = \\rhoV$

Подставив массу в формулу для полезной работы, получаем:

$A_{полезн} = \\rhoV g h$

Тогда полезная мощность равна:

$P_{полезн} = \frac{\\rhoV g h}{t}$

КПД насоса по определению — это отношение полезной мощности к затраченной (полной) мощности двигателя:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{затр}}$

Отсюда выразим искомую мощность двигателя:

$P_{затр} = \frac{P_{полезн}}{\eta} = \frac{\\rhoV g h}{\eta t}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$P_{затр} = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,8 \text{ м}^3 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 12 \text{ м}}{0,75 \cdot 60 \text{ с}}$

Вычислим числитель:

$1000 \cdot 1,8 \cdot 9,8 \cdot 12 = 1800 \cdot 9,8 \cdot 12 = 211680 \text{ Дж}$

Вычислим знаменатель:

$0,75 \cdot 60 = 45 \text{ с}$

Найдем мощность:

$P_{затр} = \frac{211680 \text{ Дж}}{45 \text{ с}} = 4704 \text{ Вт}$

Мощность также можно выразить в киловаттах:

$4704 \text{ Вт} = 4,704 \text{ кВт}$

Ответ: мощность двигателя насоса должна быть 4704 Вт (или 4,704 кВт).