Номер 65, страница 12 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 65, страница 12.

Условие.

65. Автомобиль доставил груз из пункта A в пункт B, перемещаясь в среднем со скоростью 40 км/ч. Возвращаясь обратно, автомобиль двигался со средней скоростью 60 км/ч. Чему равна средняя скорость на всем пути?

Решение.

Дано:

Средняя скорость из пункта А в пункт В, $v_1 = 40$ км/ч

Средняя скорость из пункта B в пункт А, $v_2 = 60$ км/ч

$v_1 = 40 \text{ км/ч} = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9} \text{ м/с}$

$v_2 = 60 \text{ км/ч} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с}$

Найти:

Средняя скорость на всем пути, $v_{ср}$ - ?

Решение:

Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Обозначим расстояние между пунктами A и B как $\text{S}$.

Весь путь, пройденный автомобилем, складывается из пути из А в В и обратно, из В в А. Таким образом, общий путь $S_{общ}$ равен:

$S_{общ} = S + S = 2S$

Время, затраченное на путь из А в В ($t_1$), и время на обратный путь ($t_2$) можно выразить через расстояние и скорость:

$t_1 = \frac{S}{v_1}$

$t_2 = \frac{S}{v_2}$

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}$

Теперь мы можем найти среднюю скорость на всем пути по основной формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}}$

В знаменателе можно вынести общий множитель $\text{S}$ за скобки, после чего расстояние $\text{S}$ сократится:

$v_{ср} = \frac{2S}{S(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю, получим окончательную формулу для расчета средней скорости (среднее гармоническое):

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения скоростей в эту формулу. Для удобства вычисления будем проводить в км/ч:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 40 \text{ км/ч} \cdot 60 \text{ км/ч}}{40 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч}} = \frac{4800}{100} \text{ км/ч} = 48 \text{ км/ч}$

Следует заметить, что средняя скорость не является средним арифметическим ($\frac{40+60}{2}=50$ км/ч), так как автомобиль двигался с разными скоростями в течение разного времени.

Ответ: $48$ км/ч.