Номер 68, страница 12 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 68, страница 12.

Условие.

68. Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в три раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила 6 км/ч. Какова средняя скорость катера на первой половине пути?

Решение.

Дано:

$S_1 = S_2 = S/2$ (где $\text{S}$ - весь путь)
$v_1 = 3v_2$ (где $v_1$ и $v_2$ - средние скорости на первой и второй половинах пути соответственно)
$v_{ср} = 6$ км/ч

$v_{ср} = 6 \frac{км}{ч} = 6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{3} \frac{м}{с} \approx 1,67 \frac{м}{с}$

Найти:

$v_1$

Решение:

Средняя скорость на всем пути вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Где $S_{общ}$ - весь пройденный путь, а $t_{общ}$ - общее время в пути.

Весь путь $S_{общ} = S$. Общее время $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на прохождение первой и второй половин пути: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Время прохождения каждого участка пути равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2}$

Тогда общее время:

$t_{общ} = \frac{S/2}{v_1} + \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$

Подставим выражение для общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Упростим выражение в знаменателе:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Из условия задачи известно, что $v_1 = 3v_2$. Выразим отсюда $v_2 = \frac{v_1}{3}$ и подставим в полученную формулу:

$v_{ср} = \frac{2 v_1 \left(\frac{v_1}{3}\right)}{v_1 + \frac{v_1}{3}} = \frac{\frac{2v_1^2}{3}}{\frac{4v_1}{3}}$

Сокращая дробь, получаем:

$v_{ср} = \frac{2v_1^2}{4v_1} = \frac{v_1}{2}$

Теперь мы можем найти $v_1$, зная среднюю скорость $v_{ср}$:

$v_1 = 2 \cdot v_{ср}$

$v_1 = 2 \cdot 6 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость катера на первой половине пути составляет 12 км/ч.