Номер 71, страница 13 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 71, страница 13.

Условие.

71. Из пункта $\text{A}$ в пункт $\text{B}$ вниз по течению отправляется катер. Дойдя до пункта $\text{B}$, он мгновенно разворачивается и возвращается в пункт $\text{A}$. Скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$. Определите среднюю скорость катера за все время движения, если известно, что на путь из $\text{A}$ в $\text{B}$ катер затратил в 2 раза меньше времени, чем на обратный путь. Скорость катера относительно воды не изменяется.

Решение.

Дано:

$v_{теч} = 3$ км/ч

$t_{BA} = 2 \cdot t_{AB}$ (время на обратный путь в 2 раза больше)

Данные представлены в км/ч, что является удобной системой единиц для решения этой задачи. Перевод в систему СИ (м/с) не требуется.

Найти:

$v_{ср}$ - среднюю скорость катера.

Решение:

Пусть $\text{S}$ – расстояние между пунктами A и B, $v_{кат}$ – собственная скорость катера (скорость относительно воды).

Скорость катера при движении по течению из A в B равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$v_{AB} = v_{кат} + v_{теч}$

Скорость катера при движении против течения из B в A равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{BA} = v_{кат} - v_{теч}$

Расстояние $\text{S}$ можно выразить через скорость и время для каждого участка пути:

$S = v_{AB} \cdot t_{AB} = (v_{кат} + v_{теч}) \cdot t_{AB}$

$S = v_{BA} \cdot t_{BA} = (v_{кат} - v_{теч}) \cdot t_{BA}$

Поскольку расстояние в обе стороны одинаково, мы можем приравнять эти два выражения:

$(v_{кат} + v_{теч}) \cdot t_{AB} = (v_{кат} - v_{теч}) \cdot t_{BA}$

Из условия задачи известно, что $t_{BA} = 2t_{AB}$. Подставим это соотношение в уравнение:

$(v_{кат} + v_{теч}) \cdot t_{AB} = (v_{кат} - v_{теч}) \cdot (2t_{AB})$

Сократим $t_{AB}$ (так как время не равно нулю):

$v_{кат} + v_{теч} = 2(v_{кат} - v_{теч})$

$v_{кат} + v_{теч} = 2v_{кат} - 2v_{теч}$

Теперь выразим собственную скорость катера $v_{кат}$:

$2v_{кат} - v_{кат} = v_{теч} + 2v_{теч}$

$v_{кат} = 3v_{теч}$

Подставим известное значение скорости течения $v_{теч} = 3$ км/ч:

$v_{кат} = 3 \cdot 3 = 9$ км/ч.

Средняя скорость $v_{ср}$ за все время движения вычисляется по формуле как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Общий пройденный путь: $S_{общ} = S + S = 2S$.

Общее время движения: $t_{общ} = t_{AB} + t_{BA} = t_{AB} + 2t_{AB} = 3t_{AB}$.

Подставим эти выражения в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2S}{3t_{AB}}$

Мы знаем, что $S = (v_{кат} + v_{теч}) \cdot t_{AB}$. Подставим это выражение для $\text{S}$:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot (v_{кат} + v_{теч}) \cdot t_{AB}}{3t_{AB}}$

Сократим $t_{AB}$:

$v_{ср} = \frac{2(v_{кат} + v_{теч})}{3}$

Теперь подставим числовые значения $v_{кат} = 9$ км/ч и $v_{теч} = 3$ км/ч:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot (9 + 3)}{3} = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$ км/ч.

Ответ: 8 км/ч.