Номер 77, страница 13 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 77, страница 13.

Условие.

77. Автомобиль едет все время по прямой. В первый час движения его скорость была 40 км/ч. В течение второго часа он прибавил скорость и ехал равномерно, и средняя скорость за первые два часа составила 60 км/ч. Потом он снова прибавил скорость, и средняя скорость за первые три часа оказалась 70 км/ч. Найдите средние скорости движения на первой и второй половинах пути.

Решение.

Дано:

$t_1 = 1$ час - время движения на первом участке

$v_1 = 40$ км/ч - скорость на первом участке

$T_2 = 2$ часа - общее время за первые два участка

$\langle v \rangle_{12} = 60$ км/ч - средняя скорость за первые два часа

$T_3 = 3$ часа - общее время движения

$\langle v \rangle_{123} = 70$ км/ч - средняя скорость за все время движения

Все величины даны в согласованных единицах (километры, часы), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

$\langle v \rangle_{I}$ - среднюю скорость на первой половине пути

$\langle v \rangle_{II}$ - среднюю скорость на второй половине пути

Решение:

1. Сначала определим расстояние, пройденное автомобилем на каждом из трех часовых участков, а также полный путь.

Расстояние, пройденное за первый час:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 40 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 40 \text{ км}$

Общее расстояние за первые два часа:

$S_{12} = \langle v \rangle_{12} \cdot T_2 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

Расстояние, пройденное за второй час:

$S_2 = S_{12} - S_1 = 120 \text{ км} - 40 \text{ км} = 80 \text{ км}$

Следовательно, средняя скорость на втором часовом участке была $v_2 = S_2 / 1\text{ч} = 80$ км/ч.

Общее расстояние за три часа (весь путь):

$S_{общ} = \langle v \rangle_{123} \cdot T_3 = 70 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 210 \text{ км}$

Расстояние, пройденное за третий час:

$S_3 = S_{общ} - S_{12} = 210 \text{ км} - 120 \text{ км} = 90 \text{ км}$

Следовательно, средняя скорость на третьем часовом участке была $v_3 = S_3 / 1\text{ч} = 90$ км/ч.

2. Теперь, зная параметры движения на каждом участке, найдем средние скорости на половинах пути. Длина каждой половины пути составляет:

$S_{1/2} = S_{общ} / 2 = 210 \text{ км} / 2 = 105 \text{ км}$

Средняя скорость на первой половине пути

Чтобы проехать первые 105 км, автомобилю потребовалось проехать весь первый час (преодолев 40 км) и часть второго часа. Найдем, сколько времени заняла оставшаяся часть первой половины пути.

Оставшееся расстояние: $\Delta S = S_{1/2} - S_1 = 105 \text{ км} - 40 \text{ км} = 65 \text{ км}$.

Это расстояние автомобиль ехал со средней скоростью $v_2 = 80$ км/ч. Время, затраченное на это:

$\Delta t = \frac{\Delta S}{v_2} = \frac{65 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = \frac{13}{16} \text{ ч}$.

Общее время движения на первой половине пути:

$T_I = t_1 + \Delta t = 1 \text{ ч} + \frac{13}{16} \text{ ч} = \frac{29}{16} \text{ ч}$.

Средняя скорость на первой половине пути равна:

$\langle v \rangle_I = \frac{S_{1/2}}{T_I} = \frac{105 \text{ км}}{29/16 \text{ ч}} = \frac{105 \cdot 16}{29} \text{ км/ч} = \frac{1680}{29} \text{ км/ч} \approx 57,93 \text{ км/ч}$.

Ответ: средняя скорость на первой половине пути равна $\frac{1680}{29}$ км/ч (приблизительно 57,93 км/ч).

Средняя скорость на второй половине пути

Вторая половина пути также равна $S_{1/2} = 105$ км. Общее время движения составляет $T_{общ} = 3$ ч. Время, которое автомобиль затратил на вторую половину пути, можно найти как разность общего времени и времени прохождения первой половины:

$T_{II} = T_{общ} - T_I = 3 \text{ ч} - \frac{29}{16} \text{ ч} = \frac{48 - 29}{16} \text{ ч} = \frac{19}{16} \text{ ч}$.

Средняя скорость на второй половине пути равна:

$\langle v \rangle_{II} = \frac{S_{1/2}}{T_{II}} = \frac{105 \text{ км}}{19/16 \text{ ч}} = \frac{105 \cdot 16}{19} \text{ км/ч} = \frac{1680}{19} \text{ км/ч} \approx 88,42 \text{ км/ч}$.

Ответ: средняя скорость на второй половине пути равна $\frac{1680}{19}$ км/ч (приблизительно 88,42 км/ч).