Номер 76, страница 13 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 76, страница 13.

Условие.

76. Найдите среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью 700 км/ч, вторую треть пути – со скоростью 500 км/ч, а последнюю часть пути со скоростью, вдвое большей средней скорости на первых двух участках пути.

Решение.

Дано:

$s_1 = s_2 = s_3 = \frac{S}{3}$

$v_1 = 700$ км/ч

$v_2 = 500$ км/ч

$v_3 = 2 \cdot v_{ср12}$ (где $v_{ср12}$ - средняя скорость на первых двух участках)

Найти:

$v_{ср}$ - среднюю скорость самолета на всем пути.

Решение:

Средняя скорость на всем пути определяется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из трех равных участков, поэтому $S_{общ} = S$.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времен, затраченных на каждый участок: $t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3$.

Время на каждом участке можно выразить как $t = \frac{s}{v}$:

$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{S/3}{v_1} = \frac{S}{3v_1}$

$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{S/3}{v_2} = \frac{S}{3v_2}$

$t_3 = \frac{s_3}{v_3} = \frac{S/3}{v_3} = \frac{S}{3v_3}$

Сначала найдем скорость на третьем участке пути $v_3$. По условию, она вдвое больше средней скорости на первых двух участках $v_{ср12}$.

Найдем среднюю скорость на первых двух участках. Путь, пройденный на этих участках, равен $s_{12} = s_1 + s_2 = \frac{S}{3} + \frac{S}{3} = \frac{2S}{3}$. Время, затраченное на этот путь, $t_{12} = t_1 + t_2$.

$v_{ср12} = \frac{s_{12}}{t_{12}} = \frac{2S/3}{t_1 + t_2} = \frac{2S/3}{\frac{S}{3v_1} + \frac{S}{3v_2}} = \frac{2S/3}{\frac{S}{3}(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

Подставим значения $v_1$ и $v_2$:

$v_{ср12} = \frac{2 \cdot 700 \cdot 500}{700 + 500} = \frac{700000}{1200} = \frac{7000}{12} = \frac{1750}{3}$ км/ч.

Теперь найдем скорость на третьем участке:

$v_3 = 2 \cdot v_{ср12} = 2 \cdot \frac{1750}{3} = \frac{3500}{3}$ км/ч.

Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость на всем пути. Так как самолет пролетел три одинаковых по длине участка с разными скоростями, средняя скорость будет равна среднему гармоническому этих скоростей:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{S}{\frac{S}{3v_1} + \frac{S}{3v_2} + \frac{S}{3v_3}} = \frac{S}{\frac{S}{3}(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3})} = \frac{3}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}}$

Подставим значения скоростей $v_1, v_2, v_3$:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{1}{700} + \frac{1}{500} + \frac{1}{3500/3}} = \frac{3}{\frac{1}{700} + \frac{1}{500} + \frac{3}{3500}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю 3500:

$\frac{1}{700} = \frac{5}{3500}$

$\frac{1}{500} = \frac{7}{3500}$

$\frac{1}{700} + \frac{1}{500} + \frac{3}{3500} = \frac{5}{3500} + \frac{7}{3500} + \frac{3}{3500} = \frac{5+7+3}{3500} = \frac{15}{3500} = \frac{3}{700}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{3}{700}} = 3 \cdot \frac{700}{3} = 700$ км/ч.

Ответ: средняя скорость самолета на всем пути составляет 700 км/ч.