Номер 78, страница 14 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 78, страница 14.

Условие.

78. Пешеход треть всего пути бежал со скоростью $9 \text{ км/ч}$, треть всего времени шел со скоростью $4 \text{ км/ч}$, а оставшуюся часть пути прошел со скоростью, равной средней скорости на всем пути. Найдите среднюю скорость.

Решение.

Дано:

$s_1 = \frac{1}{3}S$ (путь на первом участке)
$v_1 = 9 \text{ км/ч}$ (скорость на первом участке)
$t_2 = \frac{1}{3}T$ (время на втором участке)
$v_2 = 4 \text{ км/ч}$ (скорость на втором участке)
$v_3 = v_{ср}$ (скорость на третьем участке)

$v_1 = 9 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 9 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 4 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 4 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{10}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.11 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_{ср}$ - среднюю скорость на всем пути.

Решение:

Средняя скорость $v_{ср}$ по определению равна отношению всего пройденного пути $\text{S}$ ко всему затраченному времени $\text{T}$. Для удобства все расчеты будем производить в км/ч.
$v_{ср} = \frac{S}{T}$

Весь путь и все время движения состоят из трех участков. Найдем параметры движения для каждого участка.

1. Первый участок:
Пешеход пробежал треть пути $s_1 = \frac{S}{3}$ со скоростью $v_1 = 9 \text{ км/ч}$.
Время движения на этом участке: $t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{S/3}{9} = \frac{S}{27}$.

2. Второй участок:
Пешеход шел треть всего времени $t_2 = \frac{T}{3}$ со скоростью $v_2 = 4 \text{ км/ч}$.
Пройденный путь на этом участке: $s_2 = v_2 \cdot t_2 = 4 \cdot \frac{T}{3} = \frac{4T}{3}$.

3. Третий участок:
Пешеход двигался со скоростью, равной средней скорости: $v_3 = v_{ср} = \frac{S}{T}$.
Оставшаяся часть пути: $s_3 = S - s_1 - s_2 = S - \frac{S}{3} - \frac{4T}{3} = \frac{2S}{3} - \frac{4T}{3}$.
Оставшееся время: $t_3 = T - t_1 - t_2 = T - \frac{S}{27} - \frac{T}{3} = \frac{2T}{3} - \frac{S}{27}$.

Для третьего участка справедливо соотношение $s_3 = v_3 \cdot t_3$. Подставим в это уравнение найденные выражения:
$\frac{2S}{3} - \frac{4T}{3} = \frac{S}{T} \left( \frac{2T}{3} - \frac{S}{27} \right)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{2S}{3} - \frac{4T}{3} = \frac{S}{T} \cdot \frac{2T}{3} - \frac{S}{T} \cdot \frac{S}{27}$
$\frac{2S}{3} - \frac{4T}{3} = \frac{2S}{3} - \frac{S^2}{27T}$

Сократим слагаемое $\frac{2S}{3}$ в обеих частях:
$-\frac{4T}{3} = -\frac{S^2}{27T}$

Умножим обе части на $-1$ и преобразуем уравнение для нахождения отношения $\frac{S}{T}$:
$\frac{4T}{3} = \frac{S^2}{27T}$
$4T \cdot 27T = 3S^2$
$108T^2 = 3S^2$
$\frac{S^2}{T^2} = \frac{108}{3} = 36$

Так как средняя скорость $v_{ср} = \frac{S}{T}$ должна быть положительной, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\frac{S}{T} = \sqrt{36} = 6$

Следовательно, средняя скорость пешехода на всем пути составляет 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.