Номер 75, страница 13 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 75, страница 13.

Условие.

75. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Оставшуюся часть пути он половину времени ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$, а последний участок – со скоростью $45 \text{ км/ч}$. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение.

Дано:

$v_1 = 60$ км/ч — скорость на первой половине пути.
$v_2 = 35$ км/ч — скорость в течение первой половины времени на второй части пути.
$v_3 = 45$ км/ч — скорость в течение второй половины времени на второй части пути.
$S_1 = S_2 = S/2$ — первая и вторая половины пути, где $\text{S}$ - весь путь.
$t_{2a} = t_{2b}$ — равные промежутки времени на второй половине пути.

Перевод данных в систему СИ:
$v_1 = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с}$
$v_2 = 35 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 35 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{175}{18} \text{ м/с}$
$v_3 = 45 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 45 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{2} \text{ м/с}$

Найти:

$v_{ср}$ — среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Решение:

Средняя скорость на всем пути определяется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — все время движения.

Пусть $\text{S}$ — это длина всего пути. Для удобства вычислений будем использовать км/ч, так как все данные предоставлены в этих единицах.

1. Найдем время $t_1$, за которое автомобиль проехал первую половину пути $S_1 = S/2$ со скоростью $v_1 = 60$ км/ч:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ ч.

2. На второй половине пути $S_2 = S/2$ автомобиль двигался в течение двух одинаковых промежутков времени со скоростями $v_2$ и $v_3$. Средняя скорость на участке пути, который проходится за равные промежутки времени, равна среднему арифметическому скоростей. Найдем среднюю скорость на второй половине пути $v_{ср2}$:

$v_{ср2} = \frac{v_2 + v_3}{2} = \frac{35 + 45}{2} = \frac{80}{2} = 40$ км/ч.

3. Теперь найдем время $t_2$, затраченное на вторую половину пути, двигаясь со средней скоростью $v_{ср2}$:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{ср2}} = \frac{S/2}{40} = \frac{S}{80}$ ч.

4. Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{120} + \frac{S}{80}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, равному 240:

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{2 \cdot 120} + \frac{3 \cdot S}{3 \cdot 80} = \frac{2S}{240} + \frac{3S}{240} = \frac{2S + 3S}{240} = \frac{5S}{240} = \frac{S}{48}$ ч.

5. Наконец, рассчитаем среднюю скорость на всем пути, подставив найденное общее время в исходную формулу:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{S/48} = S \cdot \frac{48}{S} = 48$ км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути составляет $48$ км/ч.