Номер 72, страница 13 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 72, страница 13.

Условие.

72. Катер, двигаясь без остановок, поднялся вверх по реке на некоторое расстояние, а затем повернул назад и вернулся в пункт отправления. Скорость катера в стоячей воде 4 м/с. Определите скорость течения реки, если известно, что средняя скорость движения составила $\frac{15}{16}$ от скорости катера в стоячей воде.

Решение.

Дано

Скорость катера в стоячей воде $v_к = 4$ м/с.

Средняя скорость движения катера $v_{ср} = \frac{15}{16} v_к$.

Найти:

Скорость течения реки $v_т$.

Решение

Пусть $\text{S}$ - расстояние, которое катер прошел вверх по реке. Такое же расстояние он прошел и обратно, вернувшись в пункт отправления.

Скорость катера при движении против течения (вверх по реке) равна разности скорости катера и скорости течения:

$v_{против} = v_к - v_т$

Время, затраченное на путь вверх по реке, составляет:

$t_{вверх} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{v_к - v_т}$

Скорость катера при движении по течению (вниз по реке) равна сумме скорости катера и скорости течения:

$v_{по} = v_к + v_т$

Время, затраченное на обратный путь, составляет:

$t_{вниз} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{v_к + v_т}$

Общий путь, пройденный катером, равен $S_{общ} = S + S = 2S$.

Общее время движения равно сумме времени движения вверх и вниз по реке:

$t_{общ} = t_{вверх} + t_{вниз} = \frac{S}{v_к - v_т} + \frac{S}{v_к + v_т}$

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{S}{v_к - v_т} + \frac{S}{v_к + v_т}}$

Можно вынести $\text{S}$ за скобки в знаменателе и сократить:

$v_{ср} = \frac{2S}{S(\frac{1}{v_к - v_т} + \frac{1}{v_к + v_т})} = \frac{2}{\frac{1}{v_к - v_т} + \frac{1}{v_к + v_т}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $(v_к - v_т)(v_к + v_т) = v_к^2 - v_т^2$:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{(v_к + v_т) + (v_к - v_т)}{(v_к - v_т)(v_к + v_т)}} = \frac{2}{\frac{2v_к}{v_к^2 - v_т^2}}$

Упростим выражение:

$v_{ср} = \frac{2(v_к^2 - v_т^2)}{2v_к} = \frac{v_к^2 - v_т^2}{v_к}$

Согласно условию задачи, $v_{ср} = \frac{15}{16} v_к$. Приравняем два полученных выражения для средней скорости:

$\frac{v_к^2 - v_т^2}{v_к} = \frac{15}{16} v_к$

Теперь решим это уравнение относительно $v_т$:

$v_к^2 - v_т^2 = \frac{15}{16} v_к^2$

$v_т^2 = v_к^2 - \frac{15}{16} v_к^2$

$v_т^2 = v_к^2 (1 - \frac{15}{16}) = v_к^2 \cdot \frac{1}{16}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_т = \sqrt{v_к^2 \cdot \frac{1}{16}} = v_к \cdot \sqrt{\frac{1}{16}} = v_к \cdot \frac{1}{4}$

Подставим известное значение скорости катера $v_к = 4$ м/с:

$v_т = 4 \text{ м/с} \cdot \frac{1}{4} = 1$ м/с.

Ответ: скорость течения реки равна 1 м/с.