Номер 74, страница 13 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 74, страница 13.

Условие.

74. Катер прошел первую половину пути со средней скоростью, в три раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила 6 км/ч. Какова средняя скорость катера на первой половине пути?

Решение.

Дано:

$S_1 = S_2 = S/2$ (пути на участках равны половине всего пути)

$v_1 = 3v_2$ (скорость на первом участке в три раза больше скорости на втором)

$v_{ср} = 6 \text{ км/ч}$ (средняя скорость на всем пути)

Все величины даны в согласованных единицах (км, ч), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

$v_1$ - ?

Решение:

Средняя скорость $v_{ср}$ на всем пути определяется как отношение всего пройденного пути $\text{S}$ ко всему времени движения $\text{t}$.

$$ v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} $$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух равных участков $S_1$ и $S_2$. Обозначим каждый из них как $S_0$, тогда $S_{общ} = 2S_0$.

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времен, затраченных на прохождение каждого участка:

$$ t_{общ} = t_1 + t_2 $$

Время на прохождение первого участка: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S_0}{v_1}$.

Время на прохождение второго участка: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S_0}{v_2}$.

Подставим выражения для времени в формулу для общего времени:

$$ t_{общ} = \frac{S_0}{v_1} + \frac{S_0}{v_2} = S_0 \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) $$

Теперь подставим это выражение и выражение для общего пути в формулу для средней скорости:

$$ v_{ср} = \frac{2S_0}{S_0 \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} $$

Сократим $S_0$ и упростим выражение:

$$ v_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}} $$

По условию задачи, скорость на первом участке в три раза больше, чем на втором: $v_1 = 3v_2$. Отсюда выразим $v_2$ через $v_1$: $v_2 = \frac{v_1}{3}$.

Подставим это соотношение в формулу для средней скорости:

$$ v_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_1/3}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{3}{v_1}} $$

Сложим дроби в знаменателе:

$$ v_{ср} = \frac{2}{\frac{1+3}{v_1}} = \frac{2}{\frac{4}{v_1}} $$

Упростим полученное выражение:

$$ v_{ср} = \frac{2v_1}{4} = \frac{v_1}{2} $$

Мы получили связь между средней скоростью на всем пути и скоростью на первой половине пути. Теперь выразим искомую скорость $v_1$:

$$ v_1 = 2 \cdot v_{ср} $$

Подставим известное значение средней скорости $v_{ср} = 6$ км/ч:

$$ v_1 = 2 \cdot 6 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч} $$

Ответ: 12 км/ч.