Номер 70, страница 12 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Средняя скорость неравномерного движения - номер 70, страница 12.

Условие.

70. Первую половину пути поезд прошел со скоростью, которая была в 1,5 раза больше той скорости, с которой поезд прошел вторую половину пути. Средняя скорость движения поезда на всем пути составила 43,5 км/ч. С какими скоростями двигался поезд на первой и второй половинах пути?

Решение.

Дано:

$S_1 = S_2 = S/2$ (где $\text{S}$ - весь путь)

$v_1 = 1.5 \cdot v_2$

$v_{ср} = 43,5$ км/ч

Перевод в СИ:

$v_{ср} = 43,5 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 43,5 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 12,08 \text{ м/с}$

Найти:

$v_1$ - ?

$v_2$ - ?

Решение:

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ} = S_1 + S_2 = S/2 + S/2 = S$.

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времен, затраченных на прохождение первой и второй половин пути:

$t_{общ} = t_1 + t_2$

Время на каждом участке пути можно найти по формуле $t = \frac{\text{путь}}{\text{скорость}}$:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Тогда общее время равно:

$t_{общ} = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$

Подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)}$

Сократив $\text{S}$, получим формулу для средней скорости при прохождении двух равных участков пути:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Теперь в это уравнение подставим известное из условия соотношение скоростей $v_1 = 1,5 v_2$:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{1,5 v_2} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{1,5 v_2} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1,5 v_2} + \frac{1,5}{1,5 v_2} = \frac{1+1,5}{1,5 v_2} = \frac{2,5}{1,5 v_2}$

Подставим это обратно в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{2,5}{1,5 v_2}} = \frac{2 \cdot 1,5 v_2}{2,5} = \frac{3 v_2}{2,5}$

Теперь мы можем выразить скорость на второй половине пути $v_2$, используя известное значение средней скорости $v_{ср} = 43,5$ км/ч:

$43,5 = \frac{3 v_2}{2,5}$

$v_2 = \frac{43,5 \cdot 2,5}{3} = 14,5 \cdot 2,5 = 36,25 \text{ км/ч}$

Зная $v_2$, найдем скорость на первой половине пути $v_1$:

$v_1 = 1,5 \cdot v_2 = 1,5 \cdot 36,25 = 54,375 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость поезда на первой половине пути составляла 54,375 км/ч, а на второй — 36,25 км/ч.