Номер 177, страница 78 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (парообразование, конденсация) - номер 177, страница 78.

Условие.

177. Два одинаковых кусочка льда летят навстречу друг другу с равными скоростями и при ударе превращаются в пар. Оцените минимально возможные скорости льдинок перед ударом, если их температура равна $-12^\circ \text{C}$.

Решение.

Дано:

Начальная температура льда: $t_1 = -12 \text{°C}$

Удельная теплоемкость льда: $c_{л} = 2100 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота плавления льда: $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Удельная теплоемкость воды: $c_{в} = 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота парообразования воды: $L = 2.26 \cdot 10^6 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Температура плавления льда: $t_{пл} = 0 \text{°C}$

Температура кипения воды: $t_{кип} = 100 \text{°C}$

Найти:

$v_{min} - ?$

Решение:

При столкновении двух одинаковых кусочков льда, летящих навстречу друг другу с равными скоростями, происходит абсолютно неупругий удар. Вся их суммарная кинетическая энергия переходит во внутреннюю энергию. Эта энергия расходуется на нагревание льда до температуры плавления, его плавление, нагревание образовавшейся воды до температуры кипения и, наконец, на полное превращение воды в пар. Минимально возможная скорость соответствует случаю, когда вся кинетическая энергия идет на эти процессы, и конечная температура пара равна температуре кипения ($100 \text{°C}$).

Пусть масса каждого кусочка льда равна $\text{m}$, а их скорость равна $\text{v}$. Тогда суммарная кинетическая энергия двух кусочков льда перед ударом равна:

$E_к = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2$

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для превращения двух кусочков льда (общей массой $2m$) в пар, складывается из четырех этапов:

1. Нагревание льда от начальной температуры $t_1 = -12 \text{°C}$ до температуры плавления $t_{пл} = 0 \text{°C}$:

$Q_1 = c_{л} \cdot (2m) \cdot (t_{пл} - t_1)$

2. Плавление льда при температуре $t_{пл} = 0 \text{°C}$:

$Q_2 = \lambda \cdot (2m)$

3. Нагревание воды от $t_{пл} = 0 \text{°C}$ до температуры кипения $t_{кип} = 100 \text{°C}$:

$Q_3 = c_{в} \cdot (2m) \cdot (t_{кип} - t_{пл})$

4. Превращение воды в пар при температуре $t_{кип} = 100 \text{°C}$:

$Q_4 = L \cdot (2m)$

Общее количество теплоты:

$Q_{общ} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = (c_{л}(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в}(t_{кип} - t_{пл}) + L) \cdot 2m$

Согласно закону сохранения энергии, вся кинетическая энергия переходит в теплоту:

$E_к = Q_{общ}$

$m v^2 = (c_{л}(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в}(t_{кип} - t_{пл}) + L) \cdot 2m$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения и выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = 2 \cdot (c_{л}(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в}(t_{кип} - t_{пл}) + L)$

$v = \sqrt{2 \cdot (c_{л}(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{в}(t_{кип} - t_{пл}) + L)}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot (2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (0 - (-12))\text{°C} + 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (100 - 0)\text{°C} + 2.26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}})}$

$v = \sqrt{2 \cdot (2100 \cdot 12 + 330000 + 4200 \cdot 100 + 2260000)}$

$v = \sqrt{2 \cdot (25200 + 330000 + 420000 + 2260000)}$

$v = \sqrt{2 \cdot (3035200)}$

$v = \sqrt{6070400} \approx 2463.8 \, \text{м/с}$

Округлим полученное значение. Поскольку в задаче просят оценить скорость, представим ответ в км/с, округлив до двух значащих цифр.

$v \approx 2500 \, \text{м/с} = 2.5 \, \text{км/с}$

Ответ: минимально возможная скорость льдинок перед ударом составляет примерно $2.5 \, \text{км/с}$.