Номер 189, страница 79 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Сопротивление проводника - номер 189, страница 79.

Условие.

189. Каким должно быть сечение стальной проволоки некоторой длины, чтобы ее сопротивление было равно сопротивлению алюминиевой проволоки длиной в 2 раза большей и сечением $0,75 \text{ мм}^2$?

Решение.

Дано:

Материал 1: сталь (индекс «с»)
Материал 2: алюминий (индекс «а»)
$R_с = R_а$
$L_а = 2 \cdot L_с$
$S_а = 0,75 \text{ мм}^2$
Удельное сопротивление стали, $\rho_с = 0,12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$
Удельное сопротивление алюминия, $\rho_а = 0,028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Перевод в систему СИ:
$S_а = 0,75 \text{ мм}^2 = 0,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$\rho_с = 0,12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1,2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$\rho_а = 0,028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$S_с$ — площадь поперечного сечения стальной проволоки.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \\rho\frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{L}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы для сопротивления стальной ($R_с$) и алюминиевой ($R_а$) проволок:

$R_с = \rho_с \frac{L_с}{S_с}$

$R_а = \rho_а \frac{L_а}{S_а}$

По условию задачи, сопротивления проволок равны ($R_с = R_а$), следовательно, мы можем приравнять правые части выражений:

$\rho_с \frac{L_с}{S_с} = \rho_а \frac{L_а}{S_а}$

Также из условия известно, что длина алюминиевой проволоки в 2 раза больше длины стальной: $L_а = 2 \cdot L_с$. Подставим это соотношение в наше уравнение:

$\rho_с \frac{L_с}{S_с} = \rho_а \frac{2 L_с}{S_а}$

Длина стальной проволоки $L_с$ присутствует в обеих частях уравнения, и, поскольку она не равна нулю, мы можем на нее сократить:

$\frac{\rho_с}{S_с} = \frac{2 \rho_а}{S_а}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую площадь сечения стальной проволоки $S_с$:

$S_с = \frac{\rho_с \cdot S_а}{2 \rho_а}$

Подставим числовые значения. Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы ($\text{мм}^2$ для площади и $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ для удельного сопротивления), так как они согласованы. Удельные сопротивления стали и алюминия возьмем из справочных таблиц.

$S_с = \frac{0,12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot 0,75 \text{ мм}^2}{2 \cdot 0,028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = \frac{0,09}{0,056} \text{ мм}^2 \approx 1,607 \text{ мм}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью данных в условии задачи ($0,75 \text{ мм}^2$).

$S_с \approx 1,6 \text{ мм}^2$

Ответ: сечение стальной проволоки должно быть равно $1,6 \text{ мм}^2$.