Номер 193, страница 80 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Сопротивление проводника - номер 193, страница 80.

Условие.

193. Резистор сопротивлением 38 Ом изготовлен из меди массой 11,2 г. Найдите длину проволоки и площадь сечения.

Решение.

Дано:

Сопротивление резистора $R = 38$ Ом
Масса медной проволоки $m = 11,2$ г
Материал — медь, следовательно, используем справочные данные:
Удельное сопротивление меди $\\rho= 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Плотность меди $d = 8900$ кг/м³

Переведем массу в систему СИ:
$m = 11,2 \text{ г} = 0,0112 \text{ кг}$

Найти:

$\text{L}$ — ? (длина проволоки)
$\text{S}$ — ? (площадь поперечного сечения)

Решение:

Для решения задачи составим систему уравнений, используя формулу для сопротивления проводника и формулу для массы через плотность и объем.

1. Сопротивление проводника длиной $\text{L}$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$ определяется как:

$R = \\rho\frac{L}{S}$

2. Масса проводника равна произведению его плотности $\text{d}$ на объем $\text{V}$. Объем цилиндрической проволоки равен $V = S \cdot L$.

$m = d \cdot V = d \cdot S \cdot L$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\text{L}$ и $\text{S}$:

$\begin{cases} R = \\rho\frac{L}{S} \\ m = dSL \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала выразим $\text{L}$ и найдем его значение. Из первого уравнения выразим $\text{S}$:

$S = \frac{\\rhoL}{R}$

Подставим это выражение для $\text{S}$ во второе уравнение:

$m = d \cdot \left(\frac{\\rhoL}{R}\right) \cdot L = \frac{d \\rhoL^2}{R}$

Отсюда выразим $L^2$, а затем и $\text{L}$:

$L^2 = \frac{mR}{d\rho} \implies L = \sqrt{\frac{mR}{d\rho}}$

Подставим числовые значения в СИ:

$L = \sqrt{\frac{0,0112 \text{ кг} \cdot 38 \text{ Ом}}{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}} = \sqrt{\frac{0,4256}{1,513 \cdot 10^{-4}}} \text{ м} \approx \sqrt{2812,95} \text{ м} \approx 53,04 \text{ м}$

Теперь, зная длину $\text{L}$, найдем площадь поперечного сечения $\text{S}$, используя ранее полученное выражение $S = \frac{\\rhoL}{R}$:

$S = \frac{1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 53,04 \text{ м}}{38 \text{ Ом}} \approx 2,373 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2$

Округлим полученные результаты до двух значащих цифр, так как наименьшая точность у исходной величины сопротивления ($R=38$ Ом).

$L \approx 53$ м

$S \approx 2,4 \cdot 10^{-8}$ м² (что эквивалентно $0,024$ мм²)

Ответ: Длина проволоки примерно 53 м, а площадь поперечного сечения примерно $2,4 \cdot 10^{-8}$ м².