Номер 197, страница 80 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Сопротивление проводника - номер 197, страница 80.

Условие.

197. Провод имеет площадь поперечного сечения 1 $mm^2$ и сопротивление 10 $\text{Ом}$. К веществу провода добавляют в два раза большее количество вещества и изготавливают новый провод, имеющий площадь поперечного сечения 0,5 $mm^2$. Найдите сопротивление нового провода.

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения первого провода, $S_1 = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Сопротивление первого провода, $R_1 = 10 \text{ Ом}$

Площадь поперечного сечения второго провода, $S_2 = 0,5 \text{ мм}^2 = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

К веществу провода добавляют в два раза большее количество вещества, значит, объем нового провода $V_2$ в три раза больше объема исходного $V_1$: $V_2 = V_1 + 2V_1 = 3V_1$

Найти:

Сопротивление нового провода, $R_2$ - ?

Решение:

Сопротивление провода определяется по формуле:

$R = \\rho\frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{L}$ — длина провода, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Объем провода можно выразить как $V = L \cdot S$. Отсюда можно выразить длину провода: $L = \frac{V}{S}$.

Подставим выражение для длины в формулу сопротивления:

$R = \\rho\frac{V/S}{S} = \\rho\frac{V}{S^2}$

Запишем эту формулу для первого и второго проводов:

$R_1 = \\rho\frac{V_1}{S_1^2}$

$R_2 = \\rho\frac{V_2}{S_2^2}$

Удельное сопротивление $\rho$ материала не меняется, так как вещество провода то же самое.

Чтобы найти $R_2$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\\rho\frac{V_2}{S_2^2}}{\\rho\frac{V_1}{S_1^2}} = \frac{V_2}{V_1} \cdot \frac{S_1^2}{S_2^2}$

Отсюда выразим $R_2$:

$R_2 = R_1 \cdot \frac{V_2}{V_1} \cdot \left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2$

Подставим известные значения. По условию, $V_2 = 3V_1$, следовательно, отношение $\frac{V_2}{V_1} = 3$.

$R_2 = 10 \text{ Ом} \cdot 3 \cdot \left(\frac{1 \text{ мм}^2}{0,5 \text{ мм}^2}\right)^2 = 10 \cdot 3 \cdot (2)^2 = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление нового провода равно 120 Ом.