Номер 198, страница 80 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Сопротивление проводника - номер 198, страница 80.

Условие.

198. Во сколько раз масса медного проводника меньше массы алюминиевого, если они имеют одинаковые сопротивления и одинаковые площади поперечного сечения?

Решение.

Дано:

Имеются два проводника: медный (индекс «м») и алюминиевый (индекс «а»).
Сопротивления проводников одинаковы: $R_м = R_а$.
Площади поперечного сечения проводников одинаковы: $S_м = S_а$.
Справочные данные:
Удельное сопротивление меди: $\rho_м = 0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} = 1.7 \cdot 10^{-8} \, Ом \cdot м$
Удельное сопротивление алюминия: $\rho_а = 0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} = 2.8 \cdot 10^{-8} \, Ом \cdot м$
Плотность меди: $d_м = 8900 \frac{кг}{м^3}$
Плотность алюминия: $d_а = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

Во сколько раз масса медного проводника меньше массы алюминиевого. Это эквивалентно нахождению отношения $\frac{m_а}{m_м}$.

Решение:

Масса и сопротивление проводника определяются следующими формулами:
Масса: $m = d \cdot V = d \cdot l \cdot S$, где $\text{d}$ — плотность материала, $\text{V}$ — объем, $\text{l}$ — длина, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.
Сопротивление: $R = \\rho\frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала.

Запишем формулы для медного и алюминиевого проводников:
$R_м = \rho_м \frac{l_м}{S_м}$ и $m_м = d_м \cdot l_м \cdot S_м$
$R_а = \rho_а \frac{l_а}{S_а}$ и $m_а = d_а \cdot l_а \cdot S_а$

По условию задачи, сопротивления и площади поперечного сечения проводников равны ($R_м = R_а$ и $S_м = S_а$). Приравняем выражения для сопротивлений:

$\rho_м \frac{l_м}{S_м} = \rho_а \frac{l_а}{S_а}$

Поскольку $S_м = S_а$, площади можно сократить:

$\rho_м \cdot l_м = \rho_а \cdot l_а$

Из этого равенства выразим отношение длин проводников:

$\frac{l_м}{l_а} = \frac{\rho_а}{\rho_м}$

Теперь найдем отношение массы алюминиевого проводника к массе медного:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{d_а \cdot l_а \cdot S_а}{d_м \cdot l_м \cdot S_м}$

Учитывая, что $S_м = S_а$, получаем:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{d_а}{d_м} \cdot \frac{l_а}{l_м}$

Мы знаем, что $\frac{l_м}{l_а} = \frac{\rho_а}{\rho_м}$, следовательно, обратное отношение $\frac{l_а}{l_м} = \frac{\rho_м}{\rho_а}$. Подставим это в формулу для отношения масс:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{d_а}{d_м} \cdot \frac{\rho_м}{\rho_а}$

Подставим числовые значения из справочных данных:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{2700}{8900} \cdot \frac{0.017}{0.028} \approx 0.303 \cdot 0.607 \approx 0.184$

Полученное отношение ($\approx 0.184$) меньше единицы. Это означает, что масса алюминиевого проводника ($m_а$) меньше массы медного ($m_м$), или, что то же самое, масса медного проводника больше массы алюминиевого.
Чтобы найти, во сколько раз масса медного проводника больше, найдем обратное отношение:

$\frac{m_м}{m_а} = \frac{1}{0.184} \approx 5.43$

Таким образом, при одинаковых сопротивлениях и площадях поперечного сечения, масса медного проводника оказывается примерно в 5,4 раза больше массы алюминиевого. Утверждение в вопросе, что масса медного проводника меньше, является неверным.

Ответ: При заданных условиях масса медного проводника не меньше, а больше массы алюминиевого примерно в 5,4 раза.