Номер 18, страница 113 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Путь, перемещение, координаты движущегося тела - номер 18, страница 113.

Условие.

18. Катер прошел из пункта А по озеру 5 км, затем развернулся и двигался под углом $30^\circ$ к первоначальной траектории до тех пор, пока направление на пункт А не стало составлять угол $90^\circ$ с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какой путь он прошел?

Решение.

Дано:

Длина первого участка пути $s_1 = 5$ км
Угол поворота к траектории $\alpha = 30^\circ$
Конечный угол между направлением на старт и направлением движения $\beta = 90^\circ$

Найти:

$|\Delta\vec{r}|$ - модуль перемещения
$\text{S}$ - пройденный путь

Решение:

Представим движение катера как траекторию, состоящую из двух отрезков: AB (начальный путь) и BC (путь после поворота). Точка A - начальная точка, B - точка поворота, C - конечная точка.

Исходя из условий задачи, мы можем определить параметры треугольника ABC:
1. Длина первого участка пути равна стороне $AB = s_1 = 5$ км.
2. Катер двигался под углом $30^\circ$ к первоначальной траектории. Это означает, что угол между линией AB и линией BC составляет $30^\circ$. В треугольнике ABC это будет внутренний угол $\angle ABC = 30^\circ$. (Если бы угол был $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$, то вместе с третьим условием это создало бы геометрически невозможный треугольник, так как сумма углов превысила бы $180^\circ$).
3. В конечной точке C направление на пункт A (линия CA) составило угол $90^\circ$ с направлением движения (линия BC). Это означает, что угол $\angle BCA = 90^\circ$.

Таким образом, движение катера описывается прямоугольным треугольником ABC, в котором угол $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 5$ км, и острый угол $\angle B = 30^\circ$.

Каково перемещение катера?

Перемещение — это вектор $\vec{AC}$, который соединяет начальную (A) и конечную (C) точки. Модуль этого вектора равен длине стороны AC. В нашем прямоугольном треугольнике AC — это катет, противолежащий углу $\angle ABC$.

Для нахождения длины катета AC воспользуемся определением синуса:

$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда выразим AC:

$|\Delta\vec{r}| = AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 5 \text{ км} \cdot \sin(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \text{ км}$.

Ответ: Перемещение катера составляет 2.5 км.

Какой путь он прошел?

Пройденный путь $\text{S}$ — это скалярная величина, равная сумме длин всех участков траектории: $S = AB + BC$.

Длина $AB$ известна ($\text{5}$ км). Найдем длину второго участка, BC. Это катет, прилежащий к углу $\angle ABC$. Для его нахождения воспользуемся определением косинуса:

$\cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB}$

Отсюда выразим BC:

$BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = 5 \text{ км} \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ км.

Теперь найдем общий путь:

$S = AB + BC = 5 + 5\frac{\sqrt{3}}{2} = 5(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})$ км.

Можно также вычислить приблизительное значение: $S \approx 5 \cdot (1 + \frac{1.732}{2}) = 5 \cdot (1 + 0.866) = 9.33$ км.

Ответ: Катер прошел путь, равный $5(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})$ км, что приблизительно составляет 9.33 км.