Номер 49, страница 117 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 49, страница 117.

Условие.

49. Движение двух автомобилей описывается следующими уравнениями: $x_1 = 2t + 0,2t^2$ и $x_2 = 80 - 4t$. Определите, когда и где произойдет встреча автомобилей. Найдите расстояние между ними через 5 с после начала движения.

Решение.

Дано:

Уравнение движения первого автомобиля: $x_1 = 2t + 0,2t^2$

Уравнение движения второго автомобиля: $x_2 = 80 - 4t$

Время для определения расстояния: $t_1 = 5 \text{ с}$

Все величины представлены в системе СИ (координаты в метрах, время в секундах).

Найти:

1. Время встречи $t_{встр}$ и координату встречи $x_{встр}$.

2. Расстояние $\text{d}$ между автомобилями в момент времени $t_1 = 5 \text{ с}$.

Решение:

Определите, когда и где произойдет встреча автомобилей.

В момент встречи координаты автомобилей равны, то есть $x_1 = x_2$. Приравняем уравнения движения:

$2t + 0,2t^2 = 80 - 4t$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:

$0,2t^2 + 2t + 4t - 80 = 0$

$0,2t^2 + 6t - 80 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 5:

$t^2 + 30t - 400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 900 + 1600 = 2500$

Найдем корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_{встр1} = \frac{-30 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 + 50}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ с}$

$t_{встр2} = \frac{-30 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 - 50}{2} = \frac{-80}{2} = -40 \text{ с}$

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только первый корень $t_{встр} = 10 \text{ с}$.

Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время в любое из уравнений. Используем второе уравнение, так как оно проще:

$x_{встр} = x_2(10) = 80 - 4 \cdot 10 = 80 - 40 = 40 \text{ м}$

Для проверки подставим в первое уравнение:

$x_{встр} = x_1(10) = 2 \cdot 10 + 0,2 \cdot 10^2 = 20 + 0,2 \cdot 100 = 20 + 20 = 40 \text{ м}$

Координаты совпали, следовательно, расчеты верны.

Ответ: Автомобили встретятся через 10 с после начала движения в точке с координатой 40 м.

Найдите расстояние между ними через 5 с после начала движения.

Чтобы найти расстояние между автомобилями в момент времени $t_1 = 5 \text{ с}$, необходимо найти координаты каждого автомобиля в этот момент.

Координата первого автомобиля:

$x_1(5) = 2 \cdot 5 + 0,2 \cdot 5^2 = 10 + 0,2 \cdot 25 = 10 + 5 = 15 \text{ м}$

Координата второго автомобиля:

$x_2(5) = 80 - 4 \cdot 5 = 80 - 20 = 60 \text{ м}$

Расстояние между ними равно модулю разности их координат:

$d = |x_2(5) - x_1(5)| = |60 - 15| = 45 \text{ м}$

Ответ: Расстояние между автомобилями через 5 с составит 45 м.