Номер 50, страница 117 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 50, страница 117.

Условие.

50. Два автомобиля выезжают из одного пункта в одном направлении. Первый автомобиль выезжает на 20 с раньше второго. Оба автомобиля движутся с одинаковыми ускорениями, равными $0,4 \text{ м/с}^2$. Через сколько времени, считая от начала движения первого автомобиля, расстояние между ними станет равным 240 м?

Решение.

Дано:

Разница во времени старта, $\Delta t = 20$ с

Ускорение автомобилей, $a = 0,4 \text{ м/с}^2$

Расстояние между автомобилями, $\Delta S = 240 \text{ м}$

Начальная скорость автомобилей, $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

Время от начала движения первого автомобиля, $t_1$ - ?

Решение:

Поскольку автомобили начинают движение из состояния покоя, их движение описывается уравнением пути для равноускоренного движения без начальной скорости: $S = \frac{at^2}{2}$.

Пусть $t_1$ — время движения первого автомобиля. Тогда путь, пройденный им, равен:

$S_1 = \frac{a t_1^2}{2}$

Второй автомобиль начинает движение на $\Delta t = 20$ с позже, поэтому его время движения $t_2$ будет меньше времени движения первого автомобиля на $\Delta t$:

$t_2 = t_1 - \Delta t$

Путь, пройденный вторым автомобилем за время $t_2$, равен:

$S_2 = \frac{a t_2^2}{2} = \frac{a (t_1 - \Delta t)^2}{2}$

Расстояние между автомобилями $\Delta S$ — это разность путей, пройденных первым и вторым автомобилями, так как они движутся в одном направлении из одной точки:

$\Delta S = S_1 - S_2$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$:

$\Delta S = \frac{a t_1^2}{2} - \frac{a (t_1 - \Delta t)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки и преобразуем выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\Delta S = \frac{a}{2} (t_1^2 - (t_1 - \Delta t)^2)$

$\Delta S = \frac{a}{2} (t_1 - (t_1 - \Delta t))(t_1 + (t_1 - \Delta t))$

$\Delta S = \frac{a}{2} (t_1 - t_1 + \Delta t)(t_1 + t_1 - \Delta t)$

$\Delta S = \frac{a}{2} (\Delta t)(2t_1 - \Delta t)$

Теперь выразим из этого уравнения искомое время $t_1$:

$\frac{2\Delta S}{a} = \Delta t(2t_1 - \Delta t)$

$\frac{2\Delta S}{a \Delta t} = 2t_1 - \Delta t$

$2t_1 = \frac{2\Delta S}{a \Delta t} + \Delta t$

$t_1 = \frac{\Delta S}{a \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t_1 = \frac{240 \text{ м}}{0,4 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ с}} + \frac{20 \text{ с}}{2} = \frac{240}{8} \text{ с} + 10 \text{ с} = 30 \text{ с} + 10 \text{ с} = 40 \text{ с}$

Ответ: расстояние между автомобилями станет равным 240 м через 40 с после начала движения первого автомобиля.