Номер 55, страница 117 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 55, страница 117.

Условие.

55. Электропоезд из состояния покоя начинает двигаться с постоянным ускорением. Найдите отношение расстояний, пройденных за последовательные равные промежутки времени.

Решение.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$ (из состояния покоя)
Ускорение: $a = \text{const}$
Последовательные промежутки времени равны: $\Delta t_1 = \Delta t_2 = \dots = \Delta t_n = \Delta t$

Найти:

Отношение расстояний, пройденных за эти промежутки времени: $s_1 : s_2 : s_3 : \dots$

Решение:

Движение электропоезда является равноускоренным. Путь, пройденный телом за время $\text{t}$ при равноускоренном движении из состояния покоя, определяется формулой:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается до:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

Найдем путь, пройденный за первый промежуток времени $\Delta t$. Этот путь равен общему пути, пройденному от начала движения за время $\Delta t$:

$s_1 = S(\Delta t) = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Теперь найдем путь, пройденный за второй промежуток времени $\Delta t$. Этот путь равен разности между путем, пройденным за два промежутка времени (общее время $2\Delta t$), и путем, пройденным за первый промежуток времени:

$s_2 = S(2\Delta t) - S(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{a}{2}(4(\Delta t)^2 - (\Delta t)^2) = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Найдем путь, пройденный за третий промежуток времени $\Delta t$. Этот путь равен разности между путем, пройденным за три промежутка времени (общее время $3\Delta t$), и путем, пройденным за два промежутка времени:

$s_3 = S(3\Delta t) - S(2\Delta t) = \frac{a(3\Delta t)^2}{2} - \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = \frac{a}{2}(9(\Delta t)^2 - 4(\Delta t)^2) = 5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Обобщим для n-го промежутка времени. Путь, пройденный за n-й промежуток времени, равен разности путей, пройденных за $\text{n}$ и $n-1$ промежутков:

$s_n = S(n\Delta t) - S((n-1)\Delta t) = \frac{a(n\Delta t)^2}{2} - \frac{a((n-1)\Delta t)^2}{2}$

$s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} [n^2 - (n-1)^2] = \frac{a(\Delta t)^2}{2} [n^2 - (n^2 - 2n + 1)] = (2n-1) \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Теперь составим отношение найденных расстояний:

$s_1 : s_2 : s_3 : \dots : s_n : \dots = \frac{a(\Delta t)^2}{2} : 3 \frac{a(\Delta t)^2}{2} : 5 \frac{a(\Delta t)^2}{2} : \dots : (2n-1) \frac{a(\Delta t)^2}{2} : \dots$

Сократив общий множитель $\frac{a(\Delta t)^2}{2}$, получаем:

$s_1 : s_2 : s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Таким образом, расстояния, пройденные за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении из состояния покоя, относятся как ряд последовательных нечетных чисел.

Ответ: Отношение расстояний, пройденных за последовательные равные промежутки времени, равно $1 : 3 : 5 : 7 : \dots : (2n-1) : \dots$, где $\text{n}$ — номер промежутка времени.