Номер 52, страница 117 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 52, страница 117.

Условие.

52. Материальная точка движется вдоль координатной оси Ox со скоростью, которая меняется по закону $v_x(t) = 10 + 2t$. Найдите среднюю скорость на пути, пройденном за время от 0 до 10 с.

Решение.

Дано:

Закон изменения скорости материальной точки: $v_x(t) = 10 + 2t$ (в СИ)
Начальный момент времени: $t_1 = 0$ с
Конечный момент времени: $t_2 = 10$ с

Найти:

Среднюю скорость $\text{<}v_x\text{>}$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$.

Решение:

Средняя скорость по определению равна отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено:

$\text{<}v_x\text{>} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

Поскольку в заданном интервале времени от 0 до 10 с скорость $v_x(t)$ всегда положительна ($v_x(0) = 10$ м/с), направление движения не меняется. Следовательно, пройденный путь равен модулю перемещения.

Промежуток времени $\Delta t$ равен:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 10 - 0 = 10$ с.

Для нахождения перемещения $\Delta x$ можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1. Через интегрирование

Перемещение является определенным интегралом от скорости по времени в заданных пределах:

$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v_x(t) dt = \int_{0}^{10} (10 + 2t) dt$

Вычисляем интеграл:

$\Delta x = \left[ 10t + \frac{2t^2}{2} \right]_{0}^{10} = \left[ 10t + t^2 \right]_{0}^{10}$

Подставляем пределы интегрирования:

$\Delta x = (10 \cdot 10 + 10^2) - (10 \cdot 0 + 0^2) = (100 + 100) - 0 = 200$ м.

Теперь находим среднюю скорость:

$\text{<}v_x\text{>} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{200 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 20$ м/с.

Способ 2. Для равноускоренного движения

Зависимость скорости от времени $v_x(t) = 10 + 2t$ является линейной, что соответствует равноускоренному движению. Общая формула для скорости при равноускоренном движении: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$. Сравнивая, находим начальную скорость $v_{0x} = 10$ м/с и ускорение $a_x = 2$ м/с².

Для равноускоренного движения средняя скорость на интервале времени равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей на этом интервале:

$\text{<}v_x\text{>} = \frac{v_x(t_1) + v_x(t_2)}{2}$

Найдем значения скорости в начальный и конечный моменты времени:

Начальная скорость: $v_x(t_1) = v_x(0) = 10 + 2 \cdot 0 = 10$ м/с.

Конечная скорость: $v_x(t_2) = v_x(10) = 10 + 2 \cdot 10 = 10 + 20 = 30$ м/с.

Вычислим среднюю скорость:

$\text{<}v_x\text{>} = \frac{10 \text{ м/с} + 30 \text{ м/с}}{2} = \frac{40 \text{ м/с}}{2} = 20 м/с.$

Ответ: 20 м/с.