Номер 57, страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 57, страница 118.

Условие.

57. При равноускоренном движении тело проходит в первые два равных последовательных промежутка времени по 4 с каждый пути 24 м и 64 м. Определите начальную скорость и ускорение движения.

Решение.

Дано:

Промежуток времени, $\Delta t = 4 \text{ с}$
Путь за первый промежуток времени, $s_1 = 24 \text{ м}$
Путь за второй промежуток времени, $s_2 = 64 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Начальную скорость, $v_0$ - ?
Ускорение, $\text{a}$ - ?

Решение:

Движение тела является равноускоренным. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, определяется формулой:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $S(t)$ - путь, пройденный за время $\text{t}$, $v_0$ - начальная скорость, $\text{a}$ - ускорение.

Рассмотрим первый промежуток времени $t_1 = 4 \text{ с}$. За это время тело прошло путь $s_1 = 24 \text{ м}$. Подставим эти значения в формулу:

$s_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$

$24 = v_0 \cdot 4 + \frac{a \cdot 4^2}{2}$

$24 = 4v_0 + \frac{16a}{2}$

$24 = 4v_0 + 8a$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы его упростить:

$6 = v_0 + 2a$ (1)

Теперь рассмотрим движение тела за два последовательных промежутка времени. Общее время движения составит $t_{общ} = t_1 + \Delta t = 4 \text{ с} + 4 \text{ с} = 8 \text{ с}$.

Общий путь, пройденный телом за это время, равен сумме путей за каждый промежуток: $S_{общ} = s_1 + s_2 = 24 \text{ м} + 64 \text{ м} = 88 \text{ м}$.

Подставим общие значения пути и времени в формулу равноускоренного движения:

$S_{общ} = v_0 t_{общ} + \frac{at_{общ}^2}{2}$

$88 = v_0 \cdot 8 + \frac{a \cdot 8^2}{2}$

$88 = 8v_0 + \frac{64a}{2}$

$88 = 8v_0 + 32a$

Разделим обе части этого уравнения на 8:

$11 = v_0 + 4a$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $v_0$ и $\text{a}$:

$\begin{cases} v_0 + 2a = 6 \\ v_0 + 4a = 11 \end{cases}$

Для решения системы вычтем из второго уравнения первое:

$(v_0 + 4a) - (v_0 + 2a) = 11 - 6$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ м/с}^2$

Подставим найденное значение ускорения $\text{a}$ в первое уравнение, чтобы найти начальную скорость $v_0$:

$v_0 + 2 \cdot 2.5 = 6$

$v_0 + 5 = 6$

$v_0 = 6 - 5 = 1 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость движения тела равна $1 \text{ м/с}$, а ускорение равно $2.5 \text{ м/с}^2$.