Номер 63, страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 63, страница 118.

Условие.

63. Тело, двигаясь равноускоренно с ускорением $2 м/с^2$ без начальной скорости, в последнюю секунду своего движения прошло $\frac{1}{3}$ пути. Определите путь и время движения тела.

Решение.

Дано

$a = 2 \text{ м/с}^2$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$S_{посл} = \frac{1}{3}S$

Найти:

$S - ?, t - ?$

Решение

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, определяется формулой:

$S = \frac{at^2}{2}$

где $\text{S}$ — общий путь, $\text{a}$ — ускорение, $\text{t}$ — общее время движения.

Путь, пройденный телом за время $(t-1)$ секунд, равен:

$S_{t-1} = \frac{a(t-1)^2}{2}$

Путь, пройденный за последнюю секунду движения, — это разность между общим путем и путем, пройденным за $(t-1)$ секунд:

$S_{посл} = S - S_{t-1} = \frac{at^2}{2} - \frac{a(t-1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки:

$S_{посл} = \frac{a}{2}(t^2 - (t-1)^2) = \frac{a}{2}(t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{a}{2}(2t-1)$

По условию задачи, путь за последнюю секунду составляет $\frac{1}{3}$ всего пути:

$S_{посл} = \frac{1}{3}S$

Подставим выражения для $S_{посл}$ и $\text{S}$ в это уравнение:

$\frac{a}{2}(2t-1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{at^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{a}{2}$:

$2t-1 = \frac{t^2}{3}$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$6t-3 = t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

Получаем два корня:

$t_1 = 3 + \sqrt{6} \approx 3 + 2.45 = 5.45 \text{ с}$

$t_2 = 3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.45 = 0.55 \text{ с}$

Поскольку в задаче говорится о "последней секунде" движения, общее время движения должно быть больше 1 секунды ($t>1$). Следовательно, корень $t_2$ не имеет физического смысла. Таким образом, общее время движения равно:

$t = 3 + \sqrt{6} \text{ с}$

Теперь найдем общий путь, подставив значение времени в исходную формулу для пути, используя $a = 2 \text{ м/с}^2$:

$S = \frac{at^2}{2} = \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{6})^2}{2} = (3 + \sqrt{6})^2$

$S = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6\sqrt{6} + 6 = 15 + 6\sqrt{6} \text{ м}$

Ответ: время движения тела $t = 3 + \sqrt{6}$ с, путь $S = 15 + 6\sqrt{6}$ м.