Номер 67, страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 67, страница 119.

Условие.

67. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит путь 5 см и останавливается. Какой путь тело проходит за вторую секунду этого движения?

Решение.

Дано:

Движение равнозамедленное

$\Delta S_5 = 5$ см (путь за пятую секунду)

$t_{ост} = 5$ с (время до полной остановки)

$v_5 = 0$ м/с (конечная скорость в момент времени $t=5$ c)

Перевод в систему СИ:

$\Delta S_5 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$\Delta S_2$ - ? (путь за вторую секунду)

Решение:

Движение тела является равнозамедленным, то есть движение с постоянным ускорением $\text{a}$.

Запишем уравнение для скорости при равноускоренном движении:

$v(t) = v_0 + at$

где $v_0$ - начальная скорость, $\text{a}$ - ускорение, $\text{t}$ - время.

По условию, тело останавливается за 5 секунд, следовательно, его скорость в момент времени $t = 5$ с равна нулю:

$v(5) = v_0 + a \cdot 5 = 0$

Из этого уравнения выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = -5a$ (1)

Путь, пройденный телом за n-ную секунду, можно найти как разность путей, пройденных за $\text{n}$ секунд и за $n-1$ секунд:

$\Delta S_n = S(n) - S(n-1)$

Используя формулу пути $S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$, получаем общую формулу для пути за n-ную секунду:

$\Delta S_n = (v_0 n + \frac{an^2}{2}) - (v_0(n-1) + \frac{a(n-1)^2}{2})$

$\Delta S_n = v_0(n - (n-1)) + \frac{a}{2}(n^2 - (n-1)^2) = v_0 + \frac{a}{2}(2n-1)$

Для пятой секунды ($n=5$) путь равен $\Delta S_5 = 0.05$ м. Подставим $n=5$ в формулу:

$\Delta S_5 = v_0 + \frac{a}{2}(2 \cdot 5 - 1) = v_0 + 4.5a$

$0.05 = v_0 + 4.5a$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $v_0$ и $\text{a}$:

$\begin{cases} v_0 = -5a \\ v_0 + 4.5a = 0.05 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_0$ из первого уравнения во второе:

$-5a + 4.5a = 0.05$

$-0.5a = 0.05$

$a = -\frac{0.05}{0.5} = -0.1$ м/с²

Ускорение отрицательное, что соответствует равнозамедленному движению.

Теперь найдем начальную скорость $v_0$ из уравнения (1):

$v_0 = -5a = -5 \cdot (-0.1) = 0.5$ м/с

Зная начальную скорость и ускорение, мы можем найти путь, пройденный за вторую секунду движения ($n=2$). Используем ту же формулу для $\Delta S_n$:

$\Delta S_2 = v_0 + \frac{a}{2}(2 \cdot 2 - 1) = v_0 + \frac{a}{2}(3) = v_0 + 1.5a$

Подставим найденные значения $v_0$ и $\text{a}$:

$\Delta S_2 = 0.5 + 1.5 \cdot (-0.1) = 0.5 - 0.15 = 0.35$ м

Переведем результат обратно в сантиметры:

$0.35 \text{ м} = 35 \text{ см}$

Ответ:

За вторую секунду движения тело проходит путь 35 см.