Номер 71, страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 71, страница 119.

Условие.

71. Пассажир первого вагона поезда длиной $80 \text{ м}$ прогуливается по перрону. Когда он был рядом с последним вагоном, поезд начал движение с ускорением $0,02 \text{ м/с}^2$. Пассажир сразу же побежал со скоростью $3 \text{ м/с}$. Через какое минимальное время пассажир догонит свой вагон?

Решение.

Дано

Длина поезда, $L = 80$ м
Ускорение поезда, $a = 0,02$ м/с²
Скорость пассажира, $v_п = 3$ м/с
Начальная скорость поезда, $v_{0т} = 0$ м/с
Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$t_{min}$ — минимальное время, через которое пассажир догонит свой вагон.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с перроном. Направим ось $OX$ в сторону движения поезда. За начало отсчета ($x=0$) примем положение пассажира в момент, когда поезд начинает движение ($t=0$). В этот момент пассажир находится у последнего вагона, следовательно, его первый вагон находится на расстоянии, равном длине поезда, от пассажира. Таким образом, начальная координата первого вагона $x_{0в} = L = 80$ м.

Запишем уравнение движения для пассажира. Он движется равномерно с постоянной скоростью $v_п$. Его координата в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$x_п(t) = v_п \cdot t$

Теперь запишем уравнение движения для первого вагона. Поезд начинает движение из состояния покоя ($v_{0т} = 0$) и движется равноускоренно с ускорением $\text{a}$. Его координата в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$x_в(t) = x_{0в} + v_{0т} \cdot t + \frac{a t^2}{2}$

Подставляя известные значения, получаем:

$x_в(t) = L + \frac{a t^2}{2}$

Пассажир догонит свой вагон, когда их координаты будут равны, то есть $x_п(t) = x_в(t)$. Приравняем уравнения их движения:

$v_п \cdot t = L + \frac{a t^2}{2}$

Это квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид $At^2 + Bt + C = 0$:

$\frac{a}{2} t^2 - v_п \cdot t + L = 0$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{0,02}{2} t^2 - 3 \cdot t + 80 = 0$

$0,01 t^2 - 3t + 80 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 0,01 \cdot 80 = 9 - 3,2 = 5,8$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два положительных корня. Физически это означает, что пассажир встретится с вагоном дважды: первый раз — когда догонит его, а второй — когда вагон, набрав скорость, обгонит пассажира. Нам необходимо найти минимальное время, то есть меньший из корней.

Корни уравнения находятся по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t = \frac{3 \pm \sqrt{5,8}}{2 \cdot 0,01} = \frac{3 \pm \sqrt{5,8}}{0,02}$

Вычислим значения корней, используя $\sqrt{5,8} \approx 2,408$:

$t_1 = \frac{3 - 2,408}{0,02} = \frac{0,592}{0,02} = 29,6$ с

$t_2 = \frac{3 + 2,408}{0,02} = \frac{5,408}{0,02} = 270,4$ с

Минимальное время, через которое пассажир догонит свой вагон, соответствует меньшему корню, то есть $t_1$.

Ответ: минимальное время, через которое пассажир догонит свой вагон, составляет 29,6 с.