Номер 69, страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 69, страница 119.

Условие.

69. Вдоль оси $Ox$ движется тело. Проекция скорости на ось зависит от времени по закону $v_x = 40 - 20t$. Какова длина пути, пройденного телом за первые 30 с движения?

Решение.

Дано:

Зависимость проекции скорости от времени: $v_x(t) = 40 - 20t$ (м/с)

Общее время движения: $t = 30$ с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Длина пути $\text{S}$ - ?

Решение:

Заданное уравнение зависимости проекции скорости от времени $v_x = 40 - 20t$ является уравнением для равноускоренного движения, общий вид которого $v_x = v_{0x} + a_x t$. Сравнивая эти два выражения, определим начальные параметры движения:

Начальная проекция скорости: $v_{0x} = 40$ м/с.

Проекция ускорения: $a_x = -20$ м/с².

Длина пути — это скалярная величина, равная расстоянию, пройденному телом вдоль траектории. В отличие от перемещения, путь всегда неотрицателен. Если тело меняет направление движения, его путь не будет равен модулю его полного перемещения. Необходимо проверить, произойдет ли смена направления движения.

Смена направления движения происходит в момент остановки, когда скорость тела становится равной нулю. Найдем этот момент времени $t_{ост}$:

$v_x(t_{ост}) = 0$

$40 - 20t_{ост} = 0$

$20t_{ост} = 40$

$t_{ост} = \frac{40}{20} = 2$ с

Поскольку момент остановки $t_{ост} = 2$ с находится внутри заданного временного интервала ($0 < 2 \text{ с} < 30 \text{ с}$), тело действительно меняет направление движения. Поэтому общий путь $\text{S}$ будет равен сумме путей, пройденных на двух участках: до разворота (от $t_1=0$ с до $t_2=2$ с) и после разворота (от $t_2=2$ с до $t_3=30$ с).

1. Вычислим путь $S_1$, пройденный телом за время от $\text{0}$ с до $\text{2}$ с. На этом участке тело движется в положительном направлении оси Ox. Путь равен модулю перемещения:

$S_1 = |\Delta x_1| = |v_{0x} t_{ост} + \frac{a_x t_{ост}^2}{2}| = |40 \cdot 2 + \frac{(-20) \cdot 2^2}{2}| = |80 - \frac{20 \cdot 4}{2}| = |80 - 40| = 40$ м.

2. Вычислим путь $S_2$, пройденный телом за время от $\text{2}$ с до $30$ с. Длительность этого участка $\Delta t = 30 - 2 = 28$ с. Начальная скорость для этого участка равна нулю ($v_x(2 \text{ с}) = 0$), так как тело начинает движение из точки остановки.

Перемещение на втором участке:

$\Delta x_2 = v_x(2\text{ с}) \Delta t + \frac{a_x (\Delta t)^2}{2} = 0 \cdot 28 + \frac{(-20) \cdot 28^2}{2} = -10 \cdot 784 = -7840$ м.

Путь на втором участке равен модулю перемещения:

$S_2 = |\Delta x_2| = |-7840| = 7840$ м.

3. Общий путь $\text{S}$ за 30 секунд равен сумме путей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = 40 \text{ м} + 7840 \text{ м} = 7880$ м.

Ответ: $7880$ м.