Номер 72, страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 72, страница 119.

Условие.

72. Тело в течение времени $\text{t}$ двигалось с постоянной скоростью $5 \text{ м/с}$. Затем его скорость равномерно возрастала так, что в момент времени $2t$ она стала равной $10 \text{ м/с}$. Вычислите среднюю скорость тела на первой половине пути. Движение считать прямолинейным.

Решение.

Дано:

$v_1 = 5 \text{ м/с}$ (скорость на интервале времени от $\text{0}$ до $\text{t}$)
$v_2 = 10 \text{ м/с}$ (скорость в момент времени $2t$)
Движение на интервале $[0, t]$ - равномерное.
Движение на интервале $[t, 2t]$ - равноускоренное.

Найти:

$v_{\text{ср}}$ - среднюю скорость на первой половине пути.

Решение:

Решение задачи можно разбить на несколько этапов. Сначала найдем общую длину пути, затем определим, где находится его середина, и после этого вычислим время, затраченное на прохождение первой половины пути, что позволит найти среднюю скорость.

1. Найдем путь, пройденный телом на каждом из двух этапов движения.

На первом этапе (время от $\text{0}$ до $\text{t}$) тело двигалось равномерно со скоростью $v_1 = 5 \text{ м/с}$. Путь $S_1$, пройденный за это время, равен:$S_1 = v_1 \cdot t = 5t$

На втором этапе (время от $\text{t}$ до $2t$, длительность $\Delta t_2 = 2t - t = t$) тело двигалось равноускоренно. Его скорость возросла с $v_1 = 5 \text{ м/с}$ до $v_2 = 10 \text{ м/с}$. Путь $S_2$, пройденный на этом этапе, можно найти по формуле пути через среднюю арифметическую скорость для равноускоренного движения:$S_2 = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot \Delta t_2 = \frac{5 + 10}{2} \cdot t = \frac{15}{2}t = 7.5t$

2. Вычислим полный путь $S_{\text{полн}}$, пройденный телом за все время движения $2t$.$S_{\text{полн}} = S_1 + S_2 = 5t + 7.5t = 12.5t$

3. Найдем длину первой половины пути $S_{\text{1/2}}$.$S_{\text{1/2}} = \frac{S_{\text{полн}}}{2} = \frac{12.5t}{2} = 6.25t$

4. Сравним первую половину пути с путем, пройденным на первом этапе: $S_1 = 5t$.Поскольку $S_{\text{1/2}} = 6.25t > S_1$, это означает, что первая половина пути заканчивается на втором (равноускоренном) этапе движения.

5. Найдем общее время $T_{\text{1/2}}$, за которое тело прошло первую половину пути. Это время складывается из времени первого этапа $\text{t}$ и времени $\Delta t'$, в течение которого тело двигалось на втором этапе, чтобы пройти оставшуюся часть пути до середины.

Путь, который нужно пройти на втором этапе, равен:$\Delta S = S_{\text{1/2}} - S_1 = 6.25t - 5t = 1.25t$

Найдем ускорение $\text{a}$ на втором этапе:$a = \frac{v_2 - v_1}{\Delta t_2} = \frac{10 - 5}{t} = \frac{5}{t} \text{ (м/с}^2\text{)}$

Теперь найдем время $\Delta t'$, необходимое для прохождения пути $\Delta S$ на втором этапе. Используем формулу пути для равноускоренного движения (начальная скорость на этом этапе $v_1 = 5 \text{ м/с}$):$\Delta S = v_1 \cdot \Delta t' + \frac{a(\Delta t')^2}{2}$$1.25t = 5 \cdot \Delta t' + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{t} \cdot (\Delta t')^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $\Delta t'$:$\frac{2.5}{t}(\Delta t')^2 + 5\Delta t' - 1.25t = 0$Умножим обе части на $\text{t}$ и разделим на $1.25$:$2(\Delta t')^2 + 4t\Delta t' - t^2 = 0$

Решим это уравнение относительно $\Delta t'$:$D = (4t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-t^2) = 16t^2 + 8t^2 = 24t^2$$\Delta t' = \frac{-4t \pm \sqrt{24t^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-4t \pm 2t\sqrt{6}}{4} = \frac{-2t \pm t\sqrt{6}}{2}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком «плюс»:$\Delta t' = t \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$

Общее время движения на первой половине пути $T_{\text{1/2}}$:$T_{\text{1/2}} = t + \Delta t' = t + t \frac{\sqrt{6} - 2}{2} = t \left(1 + \frac{\sqrt{6} - 2}{2}\right) = t \left(\frac{2 + \sqrt{6} - 2}{2}\right) = t \frac{\sqrt{6}}{2}$

6. Вычислим среднюю скорость на первой половине пути по определению.$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{1/2}}}{T_{\text{1/2}}} = \frac{6.25t}{t \frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{6.25 \cdot 2}{\sqrt{6}} = \frac{12.5}{\sqrt{6}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:$v_{\text{ср}} = \frac{12.5}{\sqrt{6}} = \frac{12.5 \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{25\sqrt{6}}{12} \text{ м/с}$

Для численной оценки: $\sqrt{6} \approx 2.449$.$v_{\text{ср}} \approx \frac{25 \cdot 2.449}{12} \approx \frac{61.225}{12} \approx 5.102 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость тела на первой половине пути равна $\frac{25\sqrt{6}}{12} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $5.1 \text{ м/с}$.