Номер 65, страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 65, страница 118.

Условие.

65. За первую секунду равнозамедленного движения автомобиль прошел половину тормозного пути. Определите полное время торможения.

Решение.

Дано:

Движение равнозамедленное.

Время движения на первом участке: $t_1 = 1$ с.

Путь, пройденный за $t_1$: $S_1 = S/2$, где $\text{S}$ - полный тормозной путь.

Конечная скорость: $v_к = 0$ м/с.

Найти:

Полное время торможения $t_{полн}$ - ?

Решение:

Запишем уравнения для равнозамедленного движения. Пусть $v_0$ – начальная скорость автомобиля, а $\text{a}$ – его ускорение (так как движение равнозамедленное, $a < 0$).

Формула для пути: $S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Формула для скорости: $v(t) = v_0 + at$.

Рассмотрим весь процесс торможения. За полное время торможения $t_{полн}$ автомобиль проходит путь $\text{S}$ и останавливается ($v_к = 0$).

Из формулы скорости:

$0 = v_0 + a t_{полн} \implies v_0 = -a t_{полн}$ (1)

Полный тормозной путь $\text{S}$ равен:

$S = v_0 t_{полн} + \frac{a t_{полн}^2}{2}$

Подставим выражение для $v_0$ из (1) в формулу для пути:

$S = (-a t_{полн}) t_{полн} + \frac{a t_{полн}^2}{2} = -a t_{полн}^2 + \frac{a t_{полн}^2}{2} = -\frac{a t_{полн}^2}{2}$ (2)

Теперь рассмотрим движение в первую секунду. По условию, за время $t_1 = 1$ с автомобиль проходит путь $S_1 = S/2$.

$S_1 = v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2} = v_0 \cdot 1 + \frac{a \cdot 1^2}{2} = v_0 + \frac{a}{2}$

Так как $S_1 = S/2$, мы можем приравнять выражения:

$v_0 + \frac{a}{2} = \frac{S}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для $\text{S}$ из (2):

$v_0 + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \left(-\frac{a t_{полн}^2}{2}\right) = -\frac{a t_{полн}^2}{4}$

Теперь подставим выражение для $v_0$ из (1):

$(-a t_{полн}) + \frac{a}{2} = -\frac{a t_{полн}^2}{4}$

Так как автомобиль тормозит, его ускорение $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\text{a}$:

$-t_{полн} + \frac{1}{2} = -\frac{t_{полн}^2}{4}$

Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дробей и знаков минус:

$4t_{полн} - 2 = t_{полн}^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_{полн}^2 - 4t_{полн} + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$t_{полн} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}$

Так как $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$, получаем:

$t_{полн} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

Мы получили два возможных значения для времени торможения:

$t_{полн,1} = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 \approx 3.414$ с

$t_{полн,2} = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 \approx 0.586$ с

По условию задачи, движение длится как минимум первую секунду. Следовательно, полное время торможения $t_{полн}$ должно быть больше 1 с. Корень $t_{полн,2} \approx 0.586$ с не удовлетворяет этому условию, так как он меньше 1 с. Этот корень является посторонним для физического смысла задачи.

Таким образом, единственным верным решением является $t_{полн,1} = 2 + \sqrt{2}$ с.

Ответ: полное время торможения составляет $(2 + \sqrt{2})$ с, что примерно равно 3,41 с.