Номер 54, страница 117 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 54, страница 117.

Условие.

54. Мимо наблюдателя, стоящего на платформе, проходит поезд. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя за 1 с, второй – за 1,5 с. Найдите ускорение поезда, считая его движение равнопеременным. Длина каждого вагона 12 м.

Решение.

Дано:

$t_1 = 1$ c

$t_2 = 1,5$ c

$L = 12$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{a}$ - ?

Решение:

По условию, движение поезда равнопеременное. Уравнение перемещения для равнопеременного движения имеет вид:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $\text{S}$ - перемещение, $v_0$ - начальная скорость, $\text{a}$ - ускорение, $\text{t}$ - время.

Рассмотрим движение поезда относительно наблюдателя. Пусть $v_0$ - это скорость поезда в тот момент, когда начало первого вагона поравнялось с наблюдателем.

1. Первый вагон длиной $\text{L}$ прошел мимо наблюдателя за время $t_1$. Для этого участка движения можно записать:

$L = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$ (1)

2. Первые два вагона (общей длиной $2L$) прошли мимо наблюдателя за общее время $T = t_1 + t_2$. Для этого участка движения уравнение будет выглядеть так:

$2L = v_0 (t_1 + t_2) + \frac{a(t_1 + t_2)^2}{2}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: начальной скоростью $v_0$ и ускорением $\text{a}$. Решим эту систему, чтобы найти $\text{a}$.

Из уравнения (1) выразим $v_0$:

$v_0 t_1 = L - \frac{at_1^2}{2}$

$v_0 = \frac{L}{t_1} - \frac{at_1}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $v_0$ в уравнение (2):

$2L = \left(\frac{L}{t_1} - \frac{at_1}{2}\right)(t_1 + t_2) + \frac{a(t_1 + t_2)^2}{2}$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $\text{a}$:

$2L = \frac{L(t_1 + t_2)}{t_1} - \frac{at_1(t_1 + t_2)}{2} + \frac{a(t_1 + t_2)^2}{2}$

Перенесем члены, содержащие $\text{L}$, в левую часть:

$2L - \frac{L(t_1 + t_2)}{t_1} = \frac{a}{2} \left( (t_1 + t_2)^2 - t_1(t_1 + t_2) \right)$

$L \left(2 - \frac{t_1 + t_2}{t_1}\right) = \frac{a}{2} (t_1 + t_2) (t_1 + t_2 - t_1)$

$L \left(\frac{2t_1 - t_1 - t_2}{t_1}\right) = \frac{a}{2} (t_1 + t_2) t_2$

$L \frac{t_1 - t_2}{t_1} = \frac{a t_2 (t_1 + t_2)}{2}$

Отсюда выражаем ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{2L(t_1 - t_2)}{t_1 t_2 (t_1 + t_2)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$a = \frac{2 \cdot 12 \cdot (1 - 1,5)}{1 \cdot 1,5 \cdot (1 + 1,5)} = \frac{24 \cdot (-0,5)}{1,5 \cdot 2,5} = \frac{-12}{3,75} = -3,2 \text{ м/с}^2$

Знак минус означает, что ускорение направлено против начальной скорости движения, то есть поезд движется равнозамедленно. Это логично, поскольку второй вагон прошел мимо наблюдателя за большее время, чем первый ($t_2 > t_1$).

Ответ: $a = -3,2 \text{ м/с}^2$.