Номер 53, страница 117 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 53, страница 117.

Условие.

53. Двигаясь прямолинейно и равноускоренно, поезд преодолел участок склона со средней скоростью 15 м/с, увеличив на этом участке мгновенную скорость на 11 м/с. Вычислите мгновенную скорость, с которой поезд двигался на середине склона.

Решение.

Дано:

Средняя скорость поезда на участке: $v_{ср} = 15$ м/с

Увеличение мгновенной скорости на участке: $\Delta v = 11$ м/с

Движение прямолинейное, равноускоренное.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Мгновенную скорость поезда на середине склона: $v_{сер}$ - ?

Решение:

Обозначим начальную скорость поезда на данном участке как $v_0$, а конечную скорость как $v_f$.

При прямолинейном равноускоренном движении средняя скорость на участке пути вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей:

$v_{ср} = \frac{v_0 + v_f}{2}$

Увеличение скорости на участке по условию равно:

$\Delta v = v_f - v_0$

Подставив известные значения, получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $v_0$ и $v_f$:

$\begin{cases} \frac{v_0 + v_f}{2} = 15 \\ v_f - v_0 = 11 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 2. Система примет вид:

$\begin{cases} v_0 + v_f = 30 \\ v_f - v_0 = 11 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $v_f$:

$(v_0 + v_f) + (v_f - v_0) = 30 + 11$

$2v_f = 41$

$v_f = 20,5$ м/с.

Теперь найдем начальную скорость $v_0$ из второго уравнения системы:

$v_0 = v_f - 11 = 20,5 - 11 = 9,5$ м/с.

Далее найдем мгновенную скорость на середине склона, которую обозначим $v_{сер}$. "Середина склона" означает точку, находящуюся на половине пройденного пути $\text{S}$, то есть на расстоянии $S/2$ от начала участка.

Для равноускоренного движения существует формула, связывающая скорость, ускорение и пройденный путь, не содержащая время:

$v_{конечная}^2 = v_{начальная}^2 + 2aS$

Применительно ко всему участку длиной $\text{S}$, эта формула выглядит так:

$v_f^2 = v_0^2 + 2aS$

Для первой половины участка длиной $S/2$, конечной скоростью будет искомая скорость $v_{сер}$:

$v_{сер}^2 = v_0^2 + 2a(\frac{S}{2}) = v_0^2 + aS$

Из формулы для всего участка выразим произведение $aS$:

$2aS = v_f^2 - v_0^2 \implies aS = \frac{v_f^2 - v_0^2}{2}$

Подставим полученное выражение для $aS$ в формулу для $v_{сер}^2$:

$v_{сер}^2 = v_0^2 + \frac{v_f^2 - v_0^2}{2} = \frac{2v_0^2 + v_f^2 - v_0^2}{2} = \frac{v_0^2 + v_f^2}{2}$

Эта формула показывает, что квадрат скорости на середине пути равен среднему арифметическому квадратов начальной и конечной скоростей.

Подставим числовые значения $v_0 = 9,5$ м/с и $v_f = 20,5$ м/с:

$v_{сер}^2 = \frac{(9,5)^2 + (20,5)^2}{2} = \frac{90,25 + 420,25}{2} = \frac{510,5}{2} = 255,25 \text{ (м/с)}^2$

Чтобы найти $v_{сер}$, извлечем квадратный корень из этого значения:

$v_{сер} = \sqrt{255,25} \approx 15,977$ м/с.

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: мгновенная скорость поезда на середине склона составляет $\sqrt{255,25} \text{ м/с} \approx 16,0 \text{ м/с}$.