Номер 1050, страница 113 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Электрические явления. 42. Единицы сопротивления. Удельное сопротивление. Расчёт сопротивления проводника - номер 1050, страница 113.

Решение.

Дано:

Материал первой проволоки – медь (Cu)
Материал второй проволоки – алюминий (Al)
Площадь сечения медной проволоки, $S_{Cu} = 2 \, \text{мм}^2$
Длины проволок равны, $l_{Cu} = l_{Al} = l$
Сопротивления проволок равны, $R_{Cu} = R_{Al} = R$
Удельное сопротивление меди (из табличных данных), $\rho_{Cu} = 0.017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$
Удельное сопротивление алюминия (из табличных данных), $\rho_{Al} = 0.028 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Перевод в систему СИ:
$S_{Cu} = 2 \, \text{мм}^2 = 2 \cdot (10^{-3} \, \text{м})^2 = 2 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$
$\rho_{Cu} = 0.017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$
$\rho_{Al} = 0.028 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 2.8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Площадь сечения алюминиевой проволоки, $S_{Al}$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{l}$ – длина проводника, а $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы для сопротивления медной и алюминиевой проволок:

$R_{Cu} = \rho_{Cu} \frac{l_{Cu}}{S_{Cu}}$

$R_{Al} = \rho_{Al} \frac{l_{Al}}{S_{Al}}$

Согласно условию задачи, сопротивления проволок и их длины равны:

$R_{Cu} = R_{Al}$ и $l_{Cu} = l_{Al}$

Следовательно, мы можем приравнять правые части выражений для сопротивлений:

$\rho_{Cu} \frac{l_{Cu}}{S_{Cu}} = \rho_{Al} \frac{l_{Al}}{S_{Al}}$

Поскольку длины проволок равны ($l_{Cu} = l_{Al}$), мы можем сократить их в уравнении:

$\frac{\rho_{Cu}}{S_{Cu}} = \frac{\rho_{Al}}{S_{Al}}$

Из этого равенства выразим искомую площадь сечения алюминиевой проволоки $S_{Al}$:

$S_{Al} = S_{Cu} \cdot \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}$

Подставим известные значения. Удобнее использовать значения удельного сопротивления в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как их отношение будет таким же, как и в системе СИ, а искомая площадь сечения сразу получится в мм².

$S_{Al} = 2 \, \text{мм}^2 \cdot \frac{0.028 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}{0.017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} \approx 2 \, \text{мм}^2 \cdot 1.647 \approx 3.294 \, \text{мм}^2$

Округляя результат до десятых, получаем:

$S_{Al} \approx 3.3 \, \text{мм}^2$

Ответ: чтобы сопротивление алюминиевой проволоки было такое же, как у медной, ее сечение должно быть примерно $3.3 \, \text{мм}^2$.