Номер 1374, страница 151 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Световые явления. 50. Линзы. Оптическая сила линзы. Изображения, даваемые линзой. Глаз и зрение. Близорукость и дальнозоркость - номер 1374, страница 151.

Решение.

Дано:

Формула тонкой собирающей линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
$\text{d}$ – расстояние от предмета до линзы
$\text{f}$ – расстояние от линзы до изображения
$\text{F}$ – фокусное расстояние собирающей линзы ($F > 0$)

Найти:

Положение ($\text{f}$) и характер (действительное/мнимое, уменьшенное/увеличенное) изображения для шести случаев расположения предмета. Построить изображения для случаев $2F > d > F$ и $d < F$.

Решение:

Для определения характеристик изображения воспользуемся формулой тонкой линзы для нахождения расстояния до изображения $\text{f}$, а также формулой линейного увеличения $\Gamma = \frac{f}{d}$. Изображение является действительным, если $f > 0$, и мнимым, если $f < 0$. Изображение увеличенное, если $|\Gamma| > 1$, уменьшенное, если $|\Gamma| < 1$, и равное по величине предмету, если $|\Gamma| = 1$.

1 Предмет находится на бесконечно большом расстоянии от линзы, $d \to \infty$.
Из формулы линзы $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$. Так как $d \to \infty$, то $\frac{1}{d} \to 0$.
Следовательно, $\frac{1}{f} \approx \frac{1}{F}$, что означает $f = F$.
Поскольку $f > 0$, изображение действительное.
Увеличение $\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{F}{d}$. При $d \to \infty$, $\Gamma \to 0$. Изображение уменьшенное до точки.
Изображение находится в фокальной плоскости линзы.

Ответ: изображение действительное, уменьшенное (точка), находится в фокусе ($f=F$).

2 Предмет находится за двойным фокусным расстоянием, $d > 2F$.
Выразим $\text{f}$ из формулы линзы: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF}$, откуда $f = \frac{dF}{d-F}$.
Так как $d > 2F > F$, то знаменатель $d-F > 0$, следовательно $f > 0$. Изображение действительное.
Оценим положение изображения. Из $d > 2F$ следует $\frac{1}{d} < \frac{1}{2F}$.
Тогда $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} > \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F}$, то есть $\frac{1}{f} > \frac{1}{2F}$, откуда $f < 2F$.
Также, так как $\text{d}$ конечно, $\frac{1}{d} > 0$, поэтому $\frac{1}{f} < \frac{1}{F}$, откуда $f > F$.
Таким образом, изображение находится между фокусом и двойным фокусом: $F < f < 2F$.
Оценим увеличение: $|\Gamma| = |\frac{f}{d}| = |\frac{F}{d-F}|$. Так как $d > 2F$, то $d - F > F$. Отсюда $|\Gamma| = \frac{F}{d-F} < 1$. Изображение уменьшенное.

Ответ: изображение действительное, уменьшенное, находится между фокусом и двойным фокусом ($F < f < 2F$).

3 Предмет находится на двойном фокусном расстоянии, $d = 2F$.
Подставим $d=2F$ в формулу линзы: $\frac{1}{2F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F}$, откуда $f = 2F$.
Поскольку $f > 0$, изображение действительное.
Увеличение $|\Gamma| = |\frac{f}{d}| = |\frac{2F}{2F}| = 1$. Изображение равное по размеру предмету.
Изображение находится на двойном фокусном расстоянии с другой стороны линзы.

Ответ: изображение действительное, равное по величине, находится на двойном фокусном расстоянии ($f=2F$).

4 Предмет находится между фокусом и двойным фокусом, $F < d < 2F$.
Из выражения $f = \frac{dF}{d-F}$ и условия $d > F$ следует, что $f > 0$. Изображение действительное.
Оценим положение изображения. Из $d < 2F$ следует $\frac{1}{d} > \frac{1}{2F}$.
Тогда $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} < \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F}$, откуда $f > 2F$.
Изображение находится за двойным фокусным расстоянием.
Оценим увеличение: $|\Gamma| = |\frac{F}{d-F}|$. Так как $F < d < 2F$, то $0 < d-F < F$. Отсюда $|\Gamma| = \frac{F}{d-F} > 1$. Изображение увеличенное.

Ответ: изображение действительное, увеличенное, находится за двойным фокусным расстоянием ($f > 2F$).

5 Предмет находится в фокусе, $d = F$.
Подставим в формулу линзы: $\frac{1}{F} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$.
Отсюда $\frac{1}{f} = 0$, что означает $f \to \infty$.
Лучи после линзы идут параллельным пучком, изображение не формируется (или говорят, что оно находится в бесконечности).

Ответ: изображение в бесконечности (лучи параллельны).

6 Предмет находится между линзой и фокусом, $d < F$.
Из выражения $f = \frac{dF}{d-F}$ и условия $d < F$ следует, что $d-F < 0$, следовательно $f < 0$. Изображение мнимое.
Оно находится с той же стороны от линзы, что и предмет.
Оценим увеличение: $|\Gamma| = |\frac{f}{d}| = |\frac{F}{d-F}| = \frac{F}{F-d}$.
Так как $0 < d < F$, то $0 < F-d < F$. Отсюда $|\Gamma| = \frac{F}{F-d} > 1$. Изображение увеличенное.

Ответ: изображение мнимое, увеличенное, находится с той же стороны от линзы, что и предмет.

Графическое построение и сверка результатов

Случай $2F > d > F$ (пункт 4)
Построим изображение предмета, расположенного между фокусом $\text{F}$ и двойным фокусом $2F$. Для этого из верхней точки предмета проведем два луча: 1) луч, параллельный главной оптической оси, который после преломления в линзе пройдет через задний фокус $\text{F}$; 2) луч, проходящий через оптический центр линзы без преломления. Точка пересечения этих лучей даст изображение верхней точки предмета. Построение показывает, что изображение получается действительное (образовано пересечением самих лучей), перевернутое, увеличенное и находится за двойным фокусным расстоянием ($f > 2F$). Этот результат полностью соответствует расчетам.

Случай $d < F$ (пункт 6)
Построим изображение предмета, расположенного между линзой и фокусом $\text{F}$. Проведем те же два луча от верхней точки предмета. После преломления в линзе лучи расходятся. Чтобы найти изображение, нужно их продолжить в обратную сторону (в сторону предмета). Точка пересечения этих продолжений даст мнимое изображение верхней точки предмета. Построение показывает, что изображение получается мнимое (образовано пересечением продолжений лучей), прямое, увеличенное и находится с той же стороны от линзы, что и предмет. Этот результат также полностью соответствует расчетам.