Номер 1380, страница 152 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Световые явления. 50. Линзы. Оптическая сила линзы. Изображения, даваемые линзой. Глаз и зрение. Близорукость и дальнозоркость - номер 1380, страница 152.

Решение.

Дано:

$L = 150$ см

$l = 30$ см

$L = 1.5$ м
$l = 0.3$ м

Найти:

$\text{F}$ - фокусное расстояние линзы.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы тонкой линзы. Пусть $\text{d}$ — расстояние от источника света (лампочки) до линзы, а $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения (экрана). Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Расстояние между лампочкой и экраном $\text{L}$ является суммой расстояний $\text{d}$ и $\text{f}$:

$d + f = L$

В задаче говорится, что существует два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение. Обозначим расстояние от лампочки до линзы в первом положении как $d_1$, а во втором — как $d_2$. Соответствующие расстояния от линзы до экрана будут $f_1$ и $f_2$.

Для первого положения:

$d_1 + f_1 = L$

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Для второго положения:

$d_2 + f_2 = L$

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

Из-за свойства обратимости световых лучей, если пара расстояний $(d_1, f_1)$ является решением, то и пара $(f_1, d_1)$ также будет решением. Это означает, что для второго положения линзы расстояние до объекта равно расстоянию до изображения в первом положении, и наоборот.

$d_2 = f_1$

$f_2 = d_1$

Расстояние между двумя положениями линзы $\text{l}$ равно разности расстояний от лампочки до линзы в этих двух положениях:

$l = |d_2 - d_1| = |f_1 - d_1|$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($d_1$ и $f_1$):

$d_1 + f_1 = L$

$f_1 - d_1 = l$ (будем считать, что $f_1 > d_1$)

Сложив эти два уравнения, получим:

$2f_1 = L + l \implies f_1 = \frac{L + l}{2}$

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

$2d_1 = L - l \implies d_1 = \frac{L - l}{2}$

Теперь подставим выражения для $d_1$ и $f_1$ в формулу тонкой линзы, чтобы найти фокусное расстояние $\text{F}$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\frac{L - l}{2}} + \frac{1}{\frac{L + l}{2}} = \frac{2}{L - l} + \frac{2}{L + l}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{F} = \frac{2(L + l) + 2(L - l)}{(L - l)(L + l)} = \frac{2L + 2l + 2L - 2l}{L^2 - l^2} = \frac{4L}{L^2 - l^2}$

Отсюда выразим фокусное расстояние $\text{F}$:

$F = \frac{L^2 - l^2}{4L}$

Подставим числовые значения из условия задачи (можно использовать сантиметры, так как единицы измерения сократятся):

$F = \frac{(150 \text{ см})^2 - (30 \text{ см})^2}{4 \cdot 150 \text{ см}} = \frac{22500 \text{ см}^2 - 900 \text{ см}^2}{600 \text{ см}} = \frac{21600 \text{ см}^2}{600 \text{ см}} = 36 \text{ см}$

Ответ: Фокусное расстояние линзы равно 36 см.