Номер 1426, страница 158 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 52. Равномерное прямолинейное движение. Графическое представление. Координаты движущихся тел. Графики проекций скорости и перемещения - номер 1426, страница 158.

Решение.

Дано:

Скорость трактора относительно земли $v_т = 15$ км/ч

Перевод в систему СИ:
$v_т = 15 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 15 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{150}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{25}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 4.17 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Скорость звена гусеницы относительно трактора $v_{г/т}$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение гусеницы в двух системах отсчета: неподвижной, связанной с землей, и подвижной, связанной с трактором. Скорость звена гусеницы относительно трактора — это скорость, с которой гусеница "перематывается" вокруг ведущих и опорных колес трактора. Будем считать, что эта скорость по модулю одинакова для всех звеньев гусеницы.

Введем следующие векторные обозначения:
$\vec{v}_{т/з}$ — скорость трактора относительно земли.
$\vec{v}_{г/з}$ — скорость звена гусеницы относительно земли.
$\vec{v}_{г/т}$ — скорость звена гусеницы относительно трактора (искомая величина).

Согласно классическому закону сложения скоростей, скорость тела в неподвижной системе отсчета (земля) равна векторной сумме его скорости в подвижной системе отсчета (трактор) и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной: $\vec{v}_{г/з} = \vec{v}_{г/т} + \vec{v}_{т/з}$

Рассмотрим звено гусеницы, которое в данный момент времени находится в нижней части и соприкасается с землей. Для того чтобы трактор двигался вперед без проскальзывания, эта часть гусеницы должна быть на мгновение неподвижна относительно земли. То есть, скорость нижнего звена гусеницы относительно земли равна нулю: $\vec{v}_{г.низ/з} = 0$.

Подставим это условие в закон сложения скоростей для нижнего звена: $0 = \vec{v}_{г.низ/т} + \vec{v}_{т/з}$

Из этого уравнения мы можем выразить скорость нижнего звена гусеницы относительно трактора: $\vec{v}_{г.низ/т} = - \vec{v}_{т/з}$

Это равенство означает, что нижняя часть гусеницы движется относительно трактора в направлении, противоположном движению трактора, а модуль ее скорости (скорость) равен модулю скорости самого трактора.

Скорость (модуль вектора скорости) нижнего звена относительно трактора равна: $v_{г.низ/т} = |\vec{v}_{г.низ/т}| = |-\vec{v}_{т/з}| = v_{т/з} = v_т$.

Поскольку гусеница представляет собой замкнутую цепь (ленту), все ее звенья движутся относительно корпуса трактора с одной и той же по модулю скоростью. Следовательно, скорость любого звена гусеницы относительно трактора равна скорости трактора относительно земли.

$v_{г/т} = v_т = 15$ км/ч.

Для проверки можно рассмотреть верхнюю часть гусеницы. Её скорость относительно трактора направлена в ту же сторону, что и движение трактора, то есть $\vec{v}_{г.верх/т}$ сонаправлена с $\vec{v}_{т/з}$, и её модуль равен $v_т$. Тогда её скорость относительно земли будет: $\vec{v}_{г.верх/з} = \vec{v}_{г.верх/т} + \vec{v}_{т/з}$

Поскольку векторы скоростей сонаправлены, для модулей получаем: $v_{г.верх/з} = v_{г.верх/т} + v_{т/з} = v_т + v_т = 2v_т$.

То есть верхняя часть гусеницы движется относительно земли со скоростью, вдвое превышающей скорость трактора ($2 \cdot 15 = 30$ км/ч). Этот результат хорошо известен для качения без проскальзывания и подтверждает правильность наших рассуждений.

Ответ: скорость любого звена гусеницы относительно трактора равна 15 км/ч.